2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。
将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）A．(1 B．3) C．(3 D．1)2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．63．若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38-4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。
记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则mn=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．745．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．403B ．6415C ．13615D ．315二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。
ABC DI7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。
若25BD BC =，12AE AD =，则AFAC= 。
8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n的最大值是 。
9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E点，若OACE=，则AEAB= 。
10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()x y z xyzx y z ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩，则xyz 的最大值为 。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。
EOA BCF BCADE12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。
点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；（2）DE AB 。
F DEHOBC A13．对于整数3n ≥，用()n ϕ表示所有小于n 的素数的乘积。
求满足条件()2232n n ϕ=-的所有正整数n 。
14．在一个m n ⨯（m 行，n 列，1m >）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，m 这m 个数出现且仅出现1次）（2）每一行n 个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求()m n ，的所有可能取值。
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。
将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）A ．(13)，B ．(33)，C ．(33)，D ．(31)， 【答案】 B【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。
依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=︒。
所以，3CD =，3AD =，3OD =。
因此，点C 的坐标为(33)，。
2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。
因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。
或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。
3．若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38- 【答案】 D 【解答】方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。
6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。
若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。
若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。
4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。
记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则mn=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74【答案】 C 【解答】依题意，m ICn ID=。
由I 为ABC △的内心知，IC AC BCID AD BD==。
所以，由等比定理知，73563m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。
5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．403 B ．6415C ．13615D ．315 【答案】 C【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-，即x =，y =x =，y =时等号成立。
∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即125m =。
∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，即x =y =x =y =时等号成立。
∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即203M =。
∴ 20121363515M m +=+=。
或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
（第4题）ABC DI设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =，将ty x=代入2244x xy y -+=， 得22244t x t x-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①由22(4)160t t =+-≥△，解得4453t -≤≤。
将43t =代入方程①，解得283x =，3x =±；45t =-代入方程①，解得285x =，5x =±。
∴ xy 的最大值为43，最小值为45-。
因此，820433M =+=，812455m =-+=，20121363515M m +=+=。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。
【答案】 112k -≤≤(个人觉得还要补充0k ≠，因为是一次函数) 【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。
由212y x y kx =-⎧⎨=+⎩，得(2)3k x -=- ……………… ①依题意，方程①有12x ≤≤的解。
∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。
故k 的取值范围为112k -≤≤。
或通过作图求解。
7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。
若25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。
【答案】 27【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则AF AEAC AG=。
又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。
F BCAD E（第7题）∴ 32DG DC DE DB ==。
∴ 37222AG AD DG DE DE DE =+=+=。
∴27AF AE DE AC AG AG ===。
8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n的最大值是 。
【答案】 63【解答】依题意，11x ≥，22x ≥，33x ≥，…，n x n ≥。
∴ 123(1)20171232n n n x x x x n +=++++≥++++=。
于是，(1)20172n n +≥，63n ≤。
又当11x =，22x =，33x =，…，6262x =，6364x =时，123626363641236264120172x x x x x ⨯+++++=+++++=+=。
∴所求n 的最大值为63。
9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O⊙于E 点，若OACE=，则AEAB= 。
【答案】5【解答】由AB 为O ⊙的直径知，AE BC ⊥。
设CE m =，则OA =，AB =。
由条件易得ACE BAE △∽△， ∴CE AEAEBE=，2AE CE EB =⋅，即2AE mEB =。