培优点十二 数列求和1．错位相减法例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+．【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则3441127327a b a d b q +=⇒++=，34411104610S b a d b q -=⇒+-=， 即332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩， 31n a n ∴=-，2n n b =．（2）()()231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，①()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，②-②①得()10223112n n =⋅---，∴所证恒等式左边()102231n n =⋅--，右边()210231102nn n a b n =-+=--+⋅，即左边=右边，所以不等式得证． 2．裂项相消法例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121n n T +=--．【解析】（1）2n ≥时，()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，∵{}n b 为等比数列31232512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328,8b b b b q q q q====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+，解得2q =或12q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=⋅=．（2）()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------，1111111212121n n ++=-=----．一、单选题1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14 C ．15 D ．17【答案】C 【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =，∴()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====，15n =，故选C ．2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-， 二次函数的对称轴为358754n ==.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 对点增分集训3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：1 2 3 4 5 6 7 8 9375961824数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13f =，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，由于201545033=⨯+，且123415x x x x +++=，故()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++=．故选A ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =， 则4534155a S a =⎧⎨==⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++， 解得10m =．故答案为10．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a【答案】C 【解析】由于()19959902a a S a +==>，()()110105610502a a S a a +==+<，∴可得50a >，60a <，这样110S a >，220Sa >，，550S a >，660S a <，，990S a <，而125S S S <<<，125a a a >>>，∴在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是55S a ．故选C ．6．设数列(){}1n-的前n 项和为nS ，则对任意正整数n ，nS=（ ）A ．()112nn ⎡⎤--⎣⎦ B ．()1112n --+C ．()112n-+D ．()112n--【答案】D【解析】∵数列(){}1n-是首项与公比均为1-的等比数列．∴其前n 项和为()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--=．故选D ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()121211n n n a n a +-=++，()()12212141n nn n a n a b n +--+=-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，若n m T >恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12【答案】D【解析】由题意知，12121n n n a ab n n +=-+-，由()()121211n n n a n a +-=++， 得()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭， ∴12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， ∴12n T <恒成立，12m ≥，故m 最小值为12，故选D ． 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1nn a n =-⋅，则2018S =（ ） A ．2018 B ．1009 C ．2019 D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列{}n a 满足()1nn a n =-⋅，∴2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+()()()1234201720181009=-++-+++-+=，故选B ．9．已知数列{}n a 中，()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N ，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．()1413n- B ．()1213n- C ．41n -D ．()221n -【答案】A【解析】设()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N ，由1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，解得12n n a -=，令214n n n b a -==，故()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-．故选A ． 10．已知函数()223sin 2n f n n -⎛⎫=π⎪⎝⎭，且()n a f n =，则123200a a a a ++++=（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】()n a f n =，当n 为偶数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭， 故222221232001234199200a a a a ++++=-+-++--()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=．故选A ．11．已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,，则132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+的整数部分为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭，∴原式1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-，当3n ≥时，()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]122-=-．，[]121=．．已知数列{}n a 满足[]2log n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018n S >的最小整数，则0n 的值为（ ） A ．305 B ．306 C ．315 D ．316【答案】D【解析】由题意，[]2log n a n =，当1n =时，可得10a =，（1项） 当1222n ≤<时，可得231a a ==，（2项） 当2322n ≤<时，可得4572a a a ====，（4项） 当3422n ≤<时，可得89153a a a ====，（8项） 当4522n ≤<时，可得1617314a a a ====，（16项）当122n n n +≤<时，可得12212n n n a a a n ++====，（2n 项）则前n 项和为1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减得2341222222n n n S n +-=+++++-⋅，∴()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>，此时8n ≥，当8n =时，对应的项为83162a a =，即0316n ≥，故选D ． 二、填空题13．已知数列{}n a 满足()()112nn n a a n n ---=≥，记n S 为{}n a 的前n 项和，则40S =__________．【答案】440【解析】由()()112nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，有2212k k a a k --=， ① 当21n k =-时，有212221k k a a k --+=-， ②当21n k =+时，有21221k k a a k ++=+， ③ +①②有22241k k a a k -+=-，-③①有21211k k a a +-+=，则()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=． 故答案为440．14．n ⎡⎣n 11233S ⎡⎡⎤⎡=++=⎣⎣⎦⎣， 24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎣⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，则n S =__________．【答案】()21n n +，()n *∈N【解析】第一个等式，起始数为1，项数为2234121=-=-，113S =⨯， 第二个等式，起始数为2，项数为2259432=-=-，225S =⨯， 第三个等式，起始数为3，项数为22716943=-=-，337S =⨯，第n 个等式，起始数为n ，项数为()22121n n n +-=+，()21n S n n =+，()n *∈N ，故答案为()21n S n n =+，()n *∈N ．15．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________； 【答案】2018【解析】∵()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ① 则201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ② +①②得1201822018403620192019S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2018S =．故答案为2018． 16．定义12nnp p p +++为n 个正整数1p ，2p ，，n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=_________； 【答案】1021【解析】∵数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n， ∴15n n S n=，解得25n S n =，∴115a S ==， 当2n ≥时，()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦， 当1n =时，上式成立，则105n a n =-， ∴215nn a b n ==-，()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为1021． 三、解答题17．正项等差数列{}n a 中，已知0n a >，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又()()52513100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=， ∴()1121n a a n d n =+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，∴2q =，∴152n n b -=⋅；（2）∵()21535272212n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦， ()2325325272212nn T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式相减得()][()215[322222221251221]n n nn T n n --=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯=--，则()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n nn S a a =++，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对n *∀∈N ，2(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）22183n T n n =-．【解析】（1）2632n nn S a a =++，n *∈N ， 当2n ≥时，()221116663232n n n n n n n a S S a a a a ---=-=++-++，化为()()1130n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴13n n a a --=，当1n =时，2111632a a a =++，且12a <，解得11a =．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为3．∴()13132n a n n =+-=-；（2）22(1)(1)(32)n n n nb a n =-=--． ∴()22212(65)(62)31273621n n b b n n n n -+=--+-=-=-，∴{}n b 的前2n 项的和()()22136122136211832n n n T n n n n n +=+++-=⨯-=-．。