直角三角形斜边上的中线的应用
知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效.
例1 如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，OA=OC,求证：OB=OC
基本结论：①若OA=OB，则OA=OB=OC, ②若OA=OC，则OB=OC，③若OB=OC，则OA=OC.
例2（1）如图1，已知△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，点O是AB的中点，求证：OC=OD （2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？
基本结论：若OA=OB，则OA=OB=OC=OD
例3 如图，∠DBC=∠BCE=90°，M为DE的中点，求证：MB=MC
D
E 例4 如图,在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为
AF，CE的中点，求证：（1）OM
=1
2
CE；（2）OB
例5 如图，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD. DE⊥BD,DE交BC于E.求证：CD=
1
2
BE
.
例6 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,点M,N分别是BC，DE的中点，
（1）求证：MN⊥DE；（2）连ME，MD，若∠A=60°，求
MN
DE
的值
.
例7 △BCD和△BCE中，∠BD C=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，
（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：DE=OE.
（2）如图2，若∠BAC=135°，求证：DE.
（3）若∠BAC=α，则∠EOD的度数为.（用α表示）
图1 图2
图1 图2
构造三角形中位线
知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题.
题型一 利用角平分线和垂直构造中位线
例1 如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF =2ME .
题型二 倍长构造三角形中位线
例2如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF =90°，M 为AF 的中
点，求证：ME =1
2
CF
题型三 取中点构造三角形中位线
例3 如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上的一点，CE =CF ，M
，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE .
F
题型四 连接两点构造三角形中位线
例4 如图，在△ABC 中，∠B =2∠A ，CD ⊥AB 于D , 点E ，F 分别为AB ，BC 的中点.求证：DE =DF
A
例5 已知∠ACB =∠BCD =90°，AC =BC ，CD =CE .
（1）如图1，AE 与BD 的大小关系为 ，位置关系为 .
（2）如图2，点P ，M ,N 分别为AB ，AD ，BE 的中点，试探究：PM 与PN 之间的数量关系和位置关系； （3）将图2中的△CDE 绕点C 旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN 与PN 的数量关系
为 .
图1
图3
图2
例7 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.求证：AB=2DM.
例5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD∥BC，∠ABE=2∠CBE.求证：DE=2AB.
（提示：取DE的中点F，连接AF）
D B。