2．3 等差数列的前n 项和
一、教学目标
1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。

2、体会等差数列与二次函数的关系。

二、基础知识
1、数列前n 项和公式：
一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321)
2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系
当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。

总上可得n a ＝____________
3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________
4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。

5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。

仍成等差数列，公差为___________
6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇
s s ________________。

若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇
s s ________________。

7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则
＝m m b a _____________。

三、典例分析
例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。

解析：32111=+==s a ①
)2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ②
在②中，当n=1时，1112=-⨯与①中的1a 不相等
因此⎩⎨⎧≥-==2
,121,3n n n a n 例2、}{n a 为等差数列，1a ＝30，d=－0.6
（1） 从第几项开始0<n a ；（2）求此数列的前n 项和的最大值。

解析：（1） 1a ＝30，d=－0.6
∴6.306.0)1(6.030+-=--=n n a n
令06.306.0≤+-n 得51≥n
即从第52项起以后个项均小于0
（2）)6.0(2
)1(30-⨯-+=n n n S n 120
303)6303(3.02
2+--=n 当n 取接近6
303的自然数 即n=51或50时，n s 达到最大值max s ＝765
例3、等差数列{}n a 中，12,60171-=-=a a ，若12||||||n n S a a a =+++ ，求n S 解析：数列{}n a 的公差31
17)60(12=----=d ∴633)1(1-=-+=n d n a a n
由0<n a 得n<21
所以{}n a 的前20项是负数，第20项以后是正数
当20≤n 时n n n n n S n 2
12323]32)1(60[2+-=⨯-+--= 20>n 1260212323)3219202060(232)1(602220+-=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-+
-=-=n n n n n S S S n n ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=20,126021232
320,21232322n n n n n n S n 四、课后检测
1、 下列数列是等差数列的是（ ）.
A. 2n a n =
B. 21n S n =+
C. 221n S n =+
D. 22n S n n =-
2、等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
3、 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.
A. 70
B. 130
C. 140
D. 170
4、 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
5、 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A ．5880
B ．5684
C ．4877
D ．4566
6、 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）
A. 24
B. 26
C. 27
D. 28
7、 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A 9 B 12 C 16 D 17
8、等差数列}{n a 共有12+n 项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（ ）.
A. 28
B. 29
C. 30
D.31
9、在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ， 则1a 为（ ） A 22.5- B 21.5- C 20.5- D 20-
10、等差数列{a n }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ）
A 、5
B 、6
C 、 5 或6
D 、 6或7
11、n S 等差数列}a {n 的前n 项和，已知
59355,9a S a S ==则（ ）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．12
12、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足
5524-+=n n B A n n ，则1313a b 的值为（ ）
（A ）5160 （B ）6051
（C ）2019 （D ）87
13、 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
14、在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .
15、在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .
16、在等差数列中，公差d ＝12
，100145S =，则13599...a a a a ++++= . 17、数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .
18、在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.
19、等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？
20、（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=
，求数列{n b }的前n 项和n T .
21、（本小题满分12分） 数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =+++ ，求n S 。