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深圳大学大一期末高数线代复习资料

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.深圳大学期末考试试卷开/闭卷 闭A/B 卷 A课程编号课程名称高等数学B(1)学分 4命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日高等数学B (1)21试卷一.选择与填空题(每题3分,共18分)1.当0x →时,)sinx x (x +与2x 比较是( ) A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有( ) A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2)3.若c e x dx )x (f -x 2+=⎰ 则=)x (f ( )。

A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x4.求极限3()1lim xx x x →∞+-=______________________。

5.设x e 是)x (f 的原函数,则⎰=dx )x (xf __________。

6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。

二.计算题:(每题6分,共48分)1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→2.求极限)x1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dxdy。

4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数,求'y ;5.设()e f x y = 求y '' ;6. 322sin , x y x y =设 求d ;7. 求2ln(1)x dx +⎰; 8. 求⎰-dx e x 3x 2;三.设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<01sin 0 (0sin 1x x x x k x x x 常数) 问当k 为何值时,函数在x =0处连续?为什么?(7分)四、ln(1) 01xx x x x<+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立.(7分) 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 (10分) 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += (元) 得到的收益是201x .010x )x (R -= (元)求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益.2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。

(10分)附加题:((每题10分共30分)1.2lim 1(1)x x x e x→+∞+ (10分)2.求LL 中的最大值.3. 若()f x的一个原函数是ln(x ,求()xf x dx ''⎰高等数学B (1)21试卷解答及评分标准一、选择与填空题(每题3分,共18分) 1.当0x →时,)sinx x (x +与2x 比较是(A ) A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小 2. 曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有(D ) A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2) 3.若c e x dx )x (f -x 2+=⎰ 则=)x (f ( D ) A .x xeB . x 2e xC . x 2xeD . )x -2x (e 2-x4.求极限xx )1x 3x (lim -+∞→=____________4e 5. 设x e 是)x (f 的原函数,则⎰=dx )x (xf ________________x xc e xe +- 6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是_x=1________。

二 计算题:(每题6分,共48分)1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→ 2.求极限)x1sinx 1(lim 0x -→解:原式=2x3-2x lim2x → (4分) 解:原式=xsinx sinxx limx -→ (1分) =41 (6分)=xcosxsinx cosx1lim 0x +-→ (3分)=xsinx-2cosx sinxlim 0x →(4分)=0 (5分)3 .tanx sinx e y x += 求dxdy 4. 设y x e x y += y 是x 的函数,求y '解:x sec cosx e sinx e y 2x x ++='(6分)解:两边求导:)y 1(e y x y y x '+='++(4分)x y x+ye y y x e+-'=- (6分)5.设)x (f e y = 求y ''6. 322sin , x y x y =设 求d ; 解:)x (f e y )x (f '=' 2分 )(sin 2sin )2(2323'⋅+⋅'='x x y x x 4分))x (f )x (f (e y 2)x (f ''+'=''(5分) dy =322(3ln 2sin 2sin cos )x x x x +dx 6分7. 求⎰+dx )1x (ln 2 9. 求⎰-dx e x 3x2解:原式=⎰+-+)x 1(xdln )x 1(xln 22(2分) 解:原式=⎰-33x dx e 31 (3分)=⎰+-+dx x12x )x 1(x ln 222(4分) =-c e 313x +- (6分)=c arctanx 2x )x 1(x ln 2++-+ (6分)三.设f(x)=1sin 0( 01sin +1 0x x x k x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪>⎩常数)问当k 为何值时,函数在其定义域内连续?(7分)解: 001lim ()lim sin 1x x f x x x--→→==Q 2分001lim ()lim(sin 1)1x x f x x x++→→=+= 4分00lim ()lim ()1lim ()x x x f x f x f x +→-→→∴=== 6分当 0lim ()(0)x f x f k →==时函数连续,即k=0时,f(x)在x=0处连续。

7分四、ln(1) 01xx x x x<+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立.(7分)1: ()ln(1),()1f x x f x x'=+=+解设则 2分0,()[0,1]x f x >显然对一切在上满足拉格朗日定理条件 3分ln(1+)ln(10)1(0,1) ()01x f x ξξξ-+'∴∈==-+存在使得 4分11 0<< 1 ln(1) 111x x x x x xξξ∴<<<+<+++Q 即有成立 7分五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 (10分) 解:x x e y -=的定义域为(,)-∞+∞, (1分) x x xy e xe e 1)x ---'=-=-(令 '0,y =得x=1 (3分)x x x y 2e xe e (2)x ---''=-+=-令0y =''有 2x = (5分)8分 当x=1时,有极大值1(1)f e -=,(9分);当x=2时,2(2,2)e -,拐点为 (10分) 。

六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C +=(元)得到的收益是201x .010x )x (R -=(元)求:1.生产10个单位是的边际成本和边际收益. 2.每批应生产多少单位时才能使利润最大 (10分) 解:1. 5)x (C ='(1分)02x .010)x (R -='(2分)生产10个单位时,边际成本5)10(C =' 边际收益8.91002.010)10(R =⨯-=' (5分)2.利润2005x 01x .010x )x (L 2---==20001x .05x 2-- (7分) 令0)x (L =' 有 250x = (9分)当每批生产250个单位时,能使利润最大。

(10分) 附加题:1、2lim1(1)xx x e x→+∞+ 解21121ln(1)ln(1)lim lim lim 1(1)x xx x x x x x x x x e e e x⎡⎤-+-+⎣⎦→+∞→+∞→+∞==+4分因为 1201ln(1)1ln(1)lim 1ln(1)lim lim x x t t t t t t x x t t ++→+∞→→-+--+-+==⎡⎤⎣⎦ 001111lim lim 22(1)2t t t t t t t ++→→-+===+ 9分所以122lim 1(1)xx x e e x→+∞=+ 10分2.求L L中的最大值.解 设1()xf x x=(1)x ≥,则121ln ()xxf x x x-'= 5分令()0f x '=得唯一驻点x e =,且1x e ≤≤时,()0f x '>;x e >时,()0f x '<;max ()f f f e ===极大分。

由于分3、 若()f x的一个原函数是ln(x ,求()xf x dx ''⎰解 ()xf x dx ''⎰()xdf x '=⎰ 2分()()xf x f x dx ''=-⎰ 3分 ()()xf x f x C '=-+ 5分()ln(f x x '⎡==⎣ 7分()f x '=8分()xf x dx ''⎰2C = 10分文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.深圳大学期末考试试卷开/闭卷 闭卷 A/B 卷 B 课程编号05课程名称高等数学B (1)学分4命题人(签字) 审题人(签字) 06 年 12 月10 日高等数学B (2)25试卷单项选择题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)两曲线y=f (x ),y=g (x )相交于点0)(,0)(,),,(),,(212211>><x g x f x x y x y x 且,它们所围成的x 轴旋转一周所得的旋转体的体积V= ( ) []⎰-212)()(x x dx x g x f π(B)[]⎰-212)()(x xdx x g x f ππdx x g x f x x ⎰-21)()(22π (D) [][]dx x g dx x f x x x x 222121)()(⎰⎰-ππ 下列级数中,条件收敛的是( )A )()∑∞=-+-131621n n n n(B )()∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛-11321n nnC )()∑∞=+-12111n n n (D )()∑∞=+-11211n n n n设),(),,(y x v v v x g z ==其中v g ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22yz( )2222yv v g y v v g ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂ (B)22y v v g ∂∂⋅∂∂ 22222)(y v v g yv v g ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D) 222y vv g y v y v g ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂⎰-1122dx x ( )文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.(A )4 (B )-4(C )0 (D )发散5. 求微分方程xey 2=''的通解( )(A )2124c x c e y x ++= (B)cx e y x+=42 (C )c e y x+=42 (D )22124c x c e y x++= 二、 填空(本题共5小题,每小题4分,满分20分)1. 若⎰=22sin 2)(x dt t x x f ,则()f x '=2. 设f (x ,y )是连续函数,交换积分次序:⎰⎰⎰⎰+-1ln 1111),(),(2xe x dy y xf dx dy y x f dx =3. 设幂级数的收敛半径是,则幂级数的收敛半径是 。

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