⑨
第十节* 常系数线性微分方程组
(D2 1)x D y et ⑥
D x (D2 1) y 0
⑦
下面来求 x .
D× ⑦－⑥ 得 x D3 y et , x D3 y et
⑩
⑨,⑩联立即为原方程的通解.
的特解, 只需代入通解确定C1 , C2 即可.
第十节* 常系数线性微分方程组
例2 解微分方程组
d2 x dt2
d d
y t
x
et
,
d2 dt
y
2
d d
x t
y
0
.
解 记 D d , 则方程组可表为
dt
(D 2 1) x D y et ,
⑥
D x (D 2 1) y 0 .
⑦
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
D21 D D D21
y
D2 1 D
et 0
,
第十节* 常系数线性微分方程组
即
(D 4 D 2 1) y et . ⑧
其特征方程: r 4 r 2 1 0 ,
特征根:
r1,2
1 5 记 ,
2
r3,4 i
5 1 记 i .
2
令 y A et , 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解:
第十节* 常系数线性微分方程组
一、概念与解法 二、举例
第十节* 常系数线性微分方程组
一、概念与解法
1. 定义 定义 由若干个微分方程联立起来共同确定几个具
有同一自变量的函数的方程组，叫做微分方程组. 如果 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方 程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程 组.
第十节* 常系数线性微分方程组
2. 解法 Step1 从方程组中消去一些未知函数及其导数，得
到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程；
Step2 解此高阶微分方程； Step3 把已求得的函数代入原方程组，求出其余的
未知函数.
第十节* 常系数线性微分方程组
二、举例
d y 3y 2z , ①
2 dx
z (C1 C2 x) e x ④
将④代入③, 得
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x) ex
.
⑤
原方程通解:
z (C1 C2 x) e x ,
y
1 2
(2C1
C2
2C2
x)
ex
.
第十节* 常系数线性微分方程组
原方程通解
注意
z (C1 C2 x) e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2
x)
ex
(1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, 而它们与C1 , C2 是不独立的(它们受②式制约).
(2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关
系，因此 y 的表达式中，2C1+C2不能用另一任意常数 C3代替，系数1/2也不能去掉.
(3) 若求方程组满足初始条件 y x0 y0 , z x0 z0
例1 解微分方程组
dx dz 2y z.
②
dx
解 由②得
y 1 d z z ,
③
2 dx
代入①, 简得
d2 z 2 d z z 0. d x2 d x
特征方程:
r2 2r 1 0 ,
通解:
z (C1 C2 x) e x .
④
第十节* 常系数线性微分方程组
y 1 dz z ③