北京科技大学远程教育学院《离散数学》综合练习一参考答案数理逻辑一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。

1、今天天气真好！ 解：不是命题。

2、王华和张民是同学。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p ：王华和张民是同学。

3、我一边吃饭，一边看电视。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p ：我吃饭。

q ：我看电视。

p q 4、没有不呼吸的人。

解：是命题。

真值为1。

M x ：x 是人。

F x ：x 呼吸。

x M x F x二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。

)(])[(r p r q p →∧→∧p q rpq r q p →∧)( r p → )(])[(r p r q p →∧→∧0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。

1、r q q p →∧→])[( p q r p qq q p ∧→)( r q q p →∧→])[(0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1111rq q p r q q q p r q q p rq q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(可满足式2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=p q q p ∨⌝ p q p ∧∨⌝)())((p q p ∧∨⌝⌝A 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 111 011)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q永真式四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。

)(r q p →→ p q r)(r q p →→0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 0 1∑=→→），，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f x ，y =xy ；特定谓词F x ，y ：x<y 。

在解释I 下判别公式真、假。

1、)])(([x y x f F y x ，，⌝∀∀ 解：)])[()])(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，，真值为假2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解：)]()()[()]}()([)({zyzxyxzyxzyfzxfFyxFzyx-<-→<∀∀∀⇔→∀∀∀，，，，真值为真六、1、求前束范式)()(yxyGxxF，∀→⌝∃解：)]()([)()()()()()(ytGxFyxytyGxxFyxyGxxFyxyGxxF，，，，∨∀∃⇔∀∨∃⇔∀∨∃⇔∀→⌝∃2、证明：BxxABxAx→∀⇔→∃)())((证明：BxxABxxABxAxBxAxBxAx→∀⇔∨⌝∀⇔∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()()())(())((七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。

（1）如果乙不参加篮球赛，那么甲就不参加篮球赛。

若乙参加篮球赛，那么甲和丙就参加篮球赛。

因此，如果甲参加篮球赛，则丙就参加篮球赛。

解：p：甲参加篮球赛。

q：乙参加篮球赛。

r：丙参加篮球赛。

前提：q p ，q p r，结论：p r证明：①q p 前提引入② p q ①置换③ q p r前提引入④q p r③置换⑤q p q r④置换⑥q r ⑤化简⑦ q r ⑥置换⑧ p r ②⑦假言三段论推理正确（2）学会的成员都是专家。

有些成员是青年人。

所以，有些成员是青年专家。

个体域是人的集合F x：x 是学会成员。

G x：x 是专家。

H x：x 是青年人。

前提：x F x G x，x F x H x结论：x F x H x G x证明：①x F x H x前提引入② F c H c①EI③x F x G x前提引入④ F c G c③UI⑤ F c②化简⑥ G c⑤④假言推理⑦ F c H cG c②⑥ 合取 ⑧ x F x H xG x ⑦EG推理正确《离散数学》综合练习二参考答案集合、关系、函数一、判断题1、对任意集合A ，都有A A 和A A ，不能同时成立。

（ F ）2、R 1、R 2是A 上的具有自反性的二元关系，R 1－R 2也具有自反性。

（ F ）3、A 上恒等关系I A 具有自反性、对称性、反对称性、传递性。

（ T ）4、f ：A B ，g ：B C ，若f o g 是A C 的满射，则f 、g 都是满射。

（ F ）5、A =｛1，2，3，4｝，f 是从A 到A 的满射，则也是从A 到A 的单射。

（ T ）二、填空题1、A －B ∪AB = A 。

2、A有2个元素，B 有3个元素，从A 到B 的二元关系有 26个。

3、R 是A 上的二元关系，R o R －1一定具有的性质是 对称性 。

4、f x = ln x 是从 R +到 R 的函数。

5、f 、g 都是从A 到A 的双射，(f o g )－1 = g －1o f －1。

三、集合1、A ={{a ，{b }}，c ，{c }，{a ，b }}、B={{a ，b }，c ，{b }} 求A ∪B 、A ∩B 、A －B 、A B 解：}}{},{}},{,{{}{}}{}},{,{{)()(}}{}},{,{{}},{,{}}{,},,{},,{},{,}},{,{{b c b a b c b a A B B A B A c b a B A b a c B A b c b a b a c c b a B A ==--=⊕=-==Y Y I Y2、A ={{a ，{b }}，c ，Ø} 求A 的幂集。

解：P A ={Ø，｛Ø｝，{{a ，{b }}}，｛c ｝，｛{a ，{b }}，c ｝，｛{a ，{b }}，Ø｝，｛c ，Ø｝}，A }3、证明：A －(B ∪C ) = (A －B )∩(A －C )解：)()()()(C A B A C A B A C B A C B A C B A --====-I Y Y四、二元关系（共30分）1、A ＝{a ，b ，c ，b }，R ＝{<a ，b >，<b ，a >，<b ，c>，<c ，d>}用关系矩阵求R 4，写出R 4的集合表示。

2、指出二元关系满足哪种性质，不满足哪种性质，说明理由。

解：满足反对称性；不满足自反性，反自反性，对称性，传递性 3、A =｛1，2，3，4，5，6｝，S =｛｛1，2｝，｛3｝，｛4，5，6｝｝ 画出由S 产生的等价关系的关系图。

解：4、画出偏序集的哈斯图，并指出最大元、最小元、极大元、极小元。

｛1，2，3，…，12｝整除关系 解：最大元：无；最小元、极小元：1；极大元：7，8，9，10，11，12五、函数1、确定以下各题中f 是否是从A B 的函数，若是指出是否是单射、满射、双射， 如果不是说明理由。

（1）A =｛1，2，3，4，5｝、B =｛5，6，7，8，9｝f =｛1，8，3，9，4，10，2，6，5，9｝ 解：f 是函数，由3，9，5，9 f 不是单射，也不是满射。

（2）A =｛1，2，3，4，5｝、B =｛5，6，7，8，9｝f =｛1，7，2，6，4，8，1，9，5，10｝ 解：由1，7，1，9，f 不是函数。

（3）A 、B 都是实数集，f x = x 3。

解：f 是函数， f 是单射，也是满射，f 是双射。

（4）A 、B 都是正整数集，⎩⎨⎧>+==1111)(x x x x f解：f 是函数， f 是单射，不是满射。

2、{a A =，b ，c ，}d ，g 、h 都是A A →的函数。

g ：b a →，a b →，d c →，c d → h ：b a →，c b →，b c →，c d →g 、h 中哪个有反函数？若有则求出反函数。

求出复合函数)(x g g ο、)(x g h ο。

解：g 是双射，有反函数，就是 g 自己。

1-g：b a →，a b →，d c →，c d →)(x g g ο：a a →，b b →，c c →，d d → )(x g h ο：a a →，d b →，a c →，d d →3、A 、B 都是有n 个元素的集合，f ：A ®B 的函数。

证明：f 是单射 f 是满射。

证明：设f 是单射，由于A x x ∈≠∀21，)()(21x f x f ≠，所以ranf 有n 个元素， 又 B ranf ⊆，而 B 也只有 n 个元素，所以 B ranf =设f 是满射，若 f 不是单射，则 A x x ∈≠∃21，)()(21x f x f =， 由于 A 中只有 n 个元素，所以 B ranf ⊂，与 B ranf = 矛盾。

《离散数学》综合练习三参考答案代数系统一、判断题 1、｛0，1，2，…，n ｝对普通加法封闭。

（F ） 2、在非负整数集Z +上定义运算·，x ·y = min ｛x ，y ｝，1是运算的幺元。

（T ） 3、实数集与普通乘法构成的代数系统中每个元素都有逆元素。

（F ） 4、在代数系统Z ，+，0中，0是零元。

（F ） 5、非负整数集Z +与普通加法+构成的代数系统是群。

（F ） 6、M 是n 阶可逆矩阵的集合，×是矩阵乘法，M ，×是群。

（T ） 7、循环群的子群是循环群。

（T ） 8、代数系统Z ，+是代数系统R *，+的子代数。

（F ） 二、填空题1、A =｛x | x = 3n ，n N ｝，对 乘法 运算封闭。

2、R *，+构成的代数系统是 半群 。

3、在代数系统Z ，+，0中，0是 单位 元。

4、F =｛f | f ：A A ｝，o 为函数的复合运算，<F ，o>的单位元是 恒等函数 。