∑x
n =0
n
在区间 ( −1 , 1 ) 内闭一致收敛 .
Ex
[1]P44—45
1 ⑹⑺， 4，6.
四. 函数项级数一致收敛判别法:
1.
M Th 4
判别法: ( Weierstrass 判别法 ) 设级数
∑u
n
( x)
定义在区间 D 上,
∑M
n
是收敛
的正项级数.若当 n 充分大时, 对 ∀x ∈ D 有|
f ( x) =
lim
n→∞
⎛ 1 ⎞ max | f n ( x) − f ( x) |= f n ⎜ ⎟ = n → / 0 f n ( x) = 0 . 但 由 于 x∈[ 0,1] ⎝ 2n ⎠ ,
(n→∞),
因此 , 该函数列在 [ 0 , 1 ] 上不一致收敛.
例8
f n ( x) =
⑴
∑u
n
( x)
, 前 n 项部分和函数列
{S n ( x)} ，收敛
例 9 定义在 ( − ∞ , + ∞ ) 内的函数项级数( 称为几何级数 )
∑x
n=0
∞
n
= 1+ x + x2 + L + xn +L
1− xn S n ( x) = ( x ≠ 1) 1− x 的部分和函数列为 , 收敛域为 ( − 1 , 1 ) .
lim
n→∞
f n ( x) = f ( x ) , … … , 有
| f m ( x) − f n ( x) | <
ε
2.
| f n ( x) − f ( x) | ≤
ε
2
令m → ∞, ⇒
<ε
f ( x) 对 ∀ x ∈ D 成立, 即 n
⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→
f ( x) ,
( n → ∞ ) ， x ∈ D.
x∈D
.
n
( x)
在区间 D 上非
一致收敛. 参阅[1]P45
8.
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.
例 12 例 13
sin nx ∑ 2 和 判断函数项级数 n =i n
设
∞
∑
n =i
∞
cos nx n2 在 R 内的一致收敛性 .
u n ( x) ( n = 1 , 2 , L ) 是区间 [ a , b ] 上的单调函数. 试证明 : 若级数
0 n →∞
(
)
种手段. 对这种函数, n → ∞ n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 ( 一致 收 敛 的 Cauchy 准 则 ) 函 数 列
2
1 x2 + n +1
−L+
(−1 ) p +1 x2 + n + p
|≤
≤
1 n +1
∞
→0
n
对 ∀x ∈ R 成立. ……
例11 非一致收敛.
几何级数 n = 0
∑x
在区间 [ − a , a ] (0 < a < 1) 上一致收敛；但在 ( −1 , 1 ) 内
证
在区间 [ − a , a ] 上 , 有
⑸
f ( x) → 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , ( n → ∞ ) . （ 注意 ∫0 f n ( x)dx ≡ 1 .） 有 n 二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集 D 上
1
f n ( x) → f ( x ) , ( n → ∞ ) . 试问: 通项 f n ( x) 的解析性质
lim f ( x)
{ fn} 在数集 D 上一致收敛, ⇔
∀ε > 0 , ∃ N , ∀ m , n > N , ⇒
( 介绍另一种形式 证
fm − fn < ε
.)
.
f n+ p − f n < ε
⇒) ( 利用式 f m − f n ≤ f m − f + f n − f . ) ⇐)
易 见 逐 点 收 敛 . 设
.
例10
证明级数 n =1 x +
2
∑
∞
(−1 ) n −1 n 在 R 内一致收敛 .
(−1 ) n −1
证 令
u n ( x) = x 2 + n , 则 n → ∞ 时
| u n +1 ( x) + u n + 2 ( x) + L + u n + p ( x) | =|
≤ 1 x + n +1
⎧1 , x =r 1 , r2 ,L, rn , ⎨ f n ( x) = ⎩0 , x ∈ [ 0 , 1 ]且 x ≠ r1 , r2 , L, rn .
⑷
x ∈ [ 0 ,1].
x∈R.
f n ( x) = 2n 2 xe − n 2 x 2 .
1 ⎧ n 0≤ x< n , ⎪4 x, 2 ⎪ 1 1 ⎪ n +1 n ≤ x < n −1 , ⎨2 − 4 x, n 2 2 ⎪ 1 ⎪ ≤ x ≤ 1. 0, ⎪ f n ( x) = ⎩ 2 n −1
应用系 2 判断函数列
{ f n ( x)} 在数集 D 上非一致收敛时, 常选 x n 为函数
Fn ( x) = f n ( x) ― f ( x ) 在数集 D 上的最值点.
验证函数一致收敛性:
例4 例5
f n ( x) =
sin nx n . 证明函数列 { f n ( x)} 在 R 内一致收敛.
( n = 1 , 2 , L ),
lim f n ( x) 0 n→∞ = , 但在 [ 0 , 1 ] 上不一致收敛.
[1]P38—39 E3, 参图.
0 < x ≤ 1 时, 只要 n > x −1 , 就有 f n ( x) = 0 . 因此, 在 ( 0 , 1 ] 上有
f n ( x) = 0 . f n (0) = 0 , ⇒ f (0) = lim f n (0) = 0 .于是, 在 [ 0 , 1 ] 上有 f ( x ) = lim n→∞ n→∞
2. 一致收敛性: Th2 定义一致收敛性.

( Cauchy 准则 ) 级数
∑u
n
( x)
在区间 D 上一致收敛, ⇔ ∀ε > 0, ∃ N ,
∀n > N , ∀p ∈ N , ⇒ | u n +1 ( x) + u n + 2 ( x ) + L + u n + p ( x ) | < ε 对 ∀x ∈ D 成立.
n
, (n→∞).
⇒
∑
敛.)
非一致收敛. ( 亦可由通项
∞
u n ( x ) = x n 在区间 (−1 , 1 ) 内非一致收敛于零, ⇒
∑
非一致收
几何级数 n = 0
∞
∑x
n
虽然在区间 ( −1 , 1 ) 内非一致收敛 , 但在包含于 ( −1 , 1 ) 内的任何
闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数
sin
x 2n + 1 . 考查函数列 { f n ( x)} 在下列区间上的一致收敛性:
2
[ − l , l ] , (l > 0 ) ;
[1]P44—46
⑵
[ 0 , + ∞) .
Ex
三.
1⑴—⑸，2，9⑴；
P53—54
1⑴，2，3⑴.
函数项级数及其一致收敛性:
1． 函数项级数及其和函数： ， 点，收敛域, 和函数, 余项.
在 ( − ∞ , + ∞ ) 内成立.
| S n ( x ) − S ( x ) |=
由系 1 , ⇒ …… 例7
对定义在区间 [ 0 , 1 ] 上的函数列
⎧ 2 ⎪2 n x , ⎪ ⎪ f n ( x ) = ⎨2 n − 2 n 2 x , ⎪ ⎪ ⎪0 , ⎩
证明: 证
1 , 2n 1 1 <x≤ , n 2n 1 < x ≤ 1. n 0≤ x≤
n
是级数
∑u
n
( x)
的一个优级数. 于是 Th 4 可以叙述为: 若级数
n
∑u
n
( x)
在区间 D 上存在优级
n
数 , 则级数
∑ u ( x) 在区间 D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取 M u ( x) / 级数 ∑ u 但应注意, 级数 ∑ 在区间 D 上不存在优级数 , ⇒
n
= sup{| u n ( x) |}
(n→∞).
考查以下函数列的收敛域与极限函数:
⑴ ⑵ ⑶
n x − n−x f n ( x) = n x + n − x . f n ( x) = x 2 n +1 .
设
1
f n ( x) → sgn x, f n ( x) → sgn x,
x∈R. x∈R.
r1 , r2 ,L , rn ,L 为区间 [ 0 , 1 ] 上的全体有理数所成数列. 令 f n ( x) → D ( x ) , f n ( x) → 0 ,
f 系1 在D上 n
系2