●k b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
b
另一判断法?
应用定比定理
4.4 线段的实长和倾角
直角三角形法
TL
b
β
△Y
△Z
a △X
△Z γ
a
△Y
b
△X TL
△X
a
α
△Y
TL
b
△Z
b’
a’ A●
△Z
α
a
△X △Y
●B △Z ●B0
b
直角三角形法求真长的规律
此法是由直线的空间几何关系分析得到的，注意点是： （1）欲求TL和α ，需用水平投影ab和△Z为直角边做直角
X
◆侧立投影面（简称侧 面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
Z
o
W
H Y
三个投影面互 相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投影
a 点A的侧面投影
V a●
A
●
X
a●
Z
● a
o
W
H
Y
空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。
一、平面的表示法
1. 用几何元素表示平面
c
c
c
●
●
●
c
c
●
●
a●
a●
a●
d a●
a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
●
d
a●
a●
● c
● c
●c
●c
●c
不在同一直线 直线及线外
上的三个点
一点
两平行直线
两相交直 线
平面 图形
2. 用平面的迹线表示平面
平面的迹线：平面与投影面的交线。水平、正面、侧面迹线。 迹线的集合点：两迹线相交时的交点，如图中的PX、PZ。 迹线平面：用迹线表示的平面。 实际应用中，常用平面的一条具有积聚性的迹线来表示特殊 位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，图c。
两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性(直角投影定理)：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影 仍为直角，反之也成立。
B C
A
b
a
c
H b
c a
.b
证明：
设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
a
c
直线在H面上的投影互相垂直
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c ● c●
a
d
AB为正平线, 正面投
b
影反映直角。
b
4.6 平面的投影
一、平面的表示法 二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性 ⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性 三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线 ⒉ 平面上取点 四、圆的投影
例：分析AB、AC、BD对投影面的相对位置 。
AB：正垂线 AC：一般位置直线 BD：正平线
例：已知水平线AB端点投影a、a’，AB对V面的倾角β=45°， 长25，B在A的右前方，求直线两面投影。
a
a
b
X
XO
O
a
a
45°
b
4.3 点与直线的相对位置
判别方法： 若点在直线上, 则点的投影
必在直线的同名投影上。并 将线段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即：
第3章 投影的基本知识
3.1 投影及其特性
3.1 投影及其特性
投影的形成及其要素
形成投影的三要素：投射中心（投射线）、形体、投影面
投影的分类
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投 影的大小有影响。 度量性较差
△，则斜边为TL，ab与斜边的夹角为α。
（2）欲求TL和β ，需用正面投影a’b’和△Y为直角边做直 角△，则斜边为TL，a’b’与斜边的夹角为β 。
（3）欲求TL和γ ，需用水平投影a”b”和△X为直角边做 直角△，则斜边为TL，a”b”与斜边的夹角为γ 。
4.5 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。
AC/CB=ac/cb= ac / cb
V
b
c
B
a
C
A c
a
b H
若点的投影有一个不在直线的同 名投影上， 则该点必不在此直线
上。
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
②
a
c ●
b
b c a
a
c
b
点C在直线 AB上
点C不在直 线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k ● b
a k●
正垂面
侧垂面
➢ 垂直投影面上的投影积聚成直线。
➢ 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹 角的大小。
➢另外两个投影面上的投影有类似性。
(⒉) 投影面平行面
积聚性
a
b
c a c b
积聚性
a
实形性
c b
水平面
正平面 投影特性： ➢平行的投影面上的投影反映实形。
侧平面
➢ 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的 直线。
侧垂线
e f e(f) ●
ef
投影特性: ① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
b’
a’
b” a”
b a
b’ a’
b” B
A b
a”
a
投影特性：
三个投影都缩短。即: 都 不反映空间线段的实长及与三 个投影面夹角的实大，且与三 根投影轴都倾斜。
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a ●
az ●a
通过作45°线使 aaz=aax
ax
a●
解法二:
用圆规直接量取 aaz=aax
a ● ax
a●
az a
●
特殊位置点的投影特性
• 投影面上点的投影特性
A在V面上
A(a’) a”
b’ C(c’)
a
c
b”
B(b)
Z
a’ a”
x
b’c’
c”
a
co
⒈ 两直线平行
b a
A
V d
B c
C
D
a c
b
dH
投影特性：
空间两直线平行，则 其各同名投影必相互平行， 反之亦然。
例1：判断图中两条直线是否平行。
b d
a c
a
c
b
d
对于一般位置直线，只要 有两个同名投影互相平行，空 间两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
c
a d
b c
b
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a
实长
β
γ
b
a
ba
b
与H面的夹角为α，与V面的角为β，与W面的夹角为γ
投影特性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a
a
b
b
●
a(b)
正垂线
c(d)
●
d c
d c
平行投影法
投且 射垂 线直 互于 相投 平影 行面
正（直角）投影法
投且 射倾 线斜 互于 相投 平影 行面
投影特性
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
投影方法
画透视图
中心投影法 平行投影法
画斜轴测图 斜角投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样及正 轴测图
投影面展开
V a
●
Z az
W a
●
不动 V a
●
Z
向右翻
az
X
ax
a● H
O ay
ay Y
A
Y
X ax
●
a● H
向下翻
● a
O
W
ay
Y
a ●
Z az
a
●
X ax
O
Y
ay
a●
ay
Y
点的投影规律:
① aa⊥OX轴
V a
●
A
X ax
●
Z az
● a W
O
a●
ay
H Y
②aa⊥OZ轴
③ aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
平行投影的基本性质
度
仿
积
平
从
定
量
形
聚
行
属
比
性
性
性
性
性
性
度量性 仿形性