第十四章一次函数【知识概念图表】知识要点（定义、公理、定理、公式、法则）（一）变量与函数1、常量和变量在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量称为常量.2、函数与函数值一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a 时的函数值.3、函数自变量的取值范围的确定自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围.4. 函数的图象一般地，对于某个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

深度理解常量与变量必须存在于一个变化过程中.判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况. 方法指引自变量的取值范围的确定方法：首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分式的形式时，自变(1 )函数图象上的点P (x,y )与函数自变量x与对应函数值y的关系：函数图象上任意一点的横坐标x与纵坐标y —定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值，反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图象上。

(2)判断点P (x,y )是否在函数图象上的方法是：将点的坐标(x,y )代入函数关系式，即自变量等于横坐标x，函数值等于纵坐标y,如果满足函数关系式，则这个点就在函数图象上，否则这个点就不在函数的图象上。

5. 描点法画函数图象的一般步骤第一步，列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；第二步：描点：以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，在坐标平面内描出相应的各点；第三步，连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑曲线连结起来•量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有指数式时，要注意零的非正数次幕均无意义；当解析式中含有偶次方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；另外，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.方法指引在实际问题中，用解析法求函数关系式时，往往就要根据题意列出方程，然后将方程进行适当地变形，用含有自变量的式子表示函数即可；当然，若已经知道了函数的模型，可用待定系数法求解析式。

6.函数的表示方法的增大而减小。

反过来，如果一条直线过原点且在第一、三象限，那么这条直线就是正比例函数y=kx（k > 0）的图象；如果一条直线过原点且在第二、四象限，那么这条直线就是正比例函数y=kx(k v 0）的图象;K>0直线经过一，三鲫罠Iff境樂二四象W罠3. 一次函数般地，形如y = kx • b （其中k , b为常数，且k丰0）的函数，叫做y是x的一次函数.当b=0时，即y=kx（k丰0）是正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数。

系数取值K> 0K< 0b>0b<0b>0b<0形/■y=kx+^1 y t yy=kx+b 1图象状y=kx+brpr-------- o V卞位置第一、二、三象限第、三、四象限第、-二、四象限第二、三、四象限性质升降趋势从左到右呈现上升趋势从左到右呈现下降趋势1. 一次函数的图象与性质当k :：: 0时，直线呈现下降趋势。

深度理解理解一次函数定义应、/、一―、、> *•t _*注意的三点:系数k丰0；X的次数是①比例②自变量1；③常数项b可以是任意实数，当b=0时，它就是正比例函数。

思维拓展口诀：一次函数图直线，通常经过仨象限;正比例函数更简单经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。

注：“ k是斜率定夹角”由函数解析式y = kx • b 选取两个点（x 「y 1）, （x 2, y 2）,过这两点画直线，即得函数y =kx • b 的图象。

通常取坐标轴上两点，即：（0,b ）和（一 °,0）。

k:函数的解析式］_!—满足条件的两个点■［丄4 一次函数的图象［-y*+b 二解出.（X i ,%）与（X 2,y 2）_［选取］ 直线 I _6. 待定系数法待定系数法：就是先设出函数解析式，再根据条件确定解析 式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待 定系数法。

7. 一次函数的应用在解一次函数的应用题时，要仔细审题，根据题意列出函数 关系式，根据实际问题的需要，画函数图象时， x 轴与y 轴上的单位长度可以不同。

（三）用函数观点看方程（组）与不等式1. 一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转化为 工0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次意思是k 的绝对值越 大，直线与x 轴的夹 角越大，（夹角是小于 90度的角）。

“ b 与y 轴来相见”是指 b 决 定直线与y 轴的交点 坐标（0，b ），b>0,交 点在y 轴的正半轴， b<0,交点在y 轴的负 半轴，b=0,直线过原 点。

方法指引运用待定系数法主要 有以下四个步骤：① 设一一按照所求的函 数类型，设出解析式；② 列——把题目中的 已知点的坐标代入解 析式，列出方程（组）； ③ 解一一解方程组），求出待定系数的值； ④代一一把求出的系 数的值代入解析式ax+b=0（a,b 为常数，a 中，求出具体的解析式.5. 一次函数图象的画法【易混易错剖析】1.在确定自变量取值范围时，由于学生考虑问题不全面导致结果出错。

对于一个函数解析式在确定自变量取值时，一定要从宏观到微观，抽丝剥茧式去分析，若遗漏了某一重因素，就会导致结论出错。

典型示例：填空：已知函数y = ------------ 中,自变量X的取值范围是____________。

x —6x -16常见错误：x -1。

解析点评:本题着重考查函数关系式中自变量的取值范围的确定方法。

我们一定要先观察它含有什么代数式：若含分式，则分式的分母不能为零；若含根式，则要注意偶次根式的被开方数不能为负；若含指数式，则指数式中要注意零的非正数次幕无意义；若是一个实际问题，则一定要使实际问题有意义。

上题中，只考虑了二次根式有意义，忽视了分式也要有意义这一层因素，因而解得自变量x的取值范围是X_1是不对的。

那么正确的解法应该是：既要使分母x? -6x -16 = 0，还要考虑使被开方数x -1 _ 0，即建立不等式组：』x —6x —16 H 0解得X式8且X式_2，和X A1。

求它们的公共部分得到答案为x x -1 £0> 1 且X M 8.本题启示：确定自变量取值范围的问题，就是要根据解析式的特点，从宏观到微观，逐层考虑每一重因素，建立不等式组的问题；具体要注意：对于一个纯数学关系式，若含分式，则分式的分母不能为零；若含根式，则要注意偶次根式的被开方数不能为负；若含指数式，则指数式中要注意零的非零次幕无意义；对于一个实际问题关系式，则一定要使实际问题有意义。

2. 在根据实际问题情境来识别函数图象或者由函数图象去分析实际问题情境时，往往将数形对应不起来，分析不全，导致解题出错。

告诉了一个具体的实际问题情境，让我们运用函数观念用数形结合对应思想去识别其图象或者由函数图象去分析实际问题情境时，往往学生感到困难，容易出错。

典型示例：选择：（2011山东济宁）如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（）常见错误：选A的较多。

解析点评:本题中“ y”是张老师出门散步时离家的距离，而“x”是张老师出门散步所用的时间，从函数图象分析看，张老师从家里出发后有三个环节，第一部分呈现上升趋势的线段，说明他是随着时间的推移，离家距离越来越远，其速度应该是均匀的；第二部分是平行于x轴的线段，说明他随着时间的推移，距离家的路程远近没有发生变化，在这一段时间内，他要么在休息，要么在一段以家为圆心的圆弧上运动，第三段是呈现下降趋势的线段，他在随着时间的推移，离家越来越近，最终回到了x轴上，离家距离为0,说明他回到了家。

所以根据以上分析来看，张老师的行走路线应该是D。

而有的同学误认为是A，将运动路线图与函数图象的形状等同起来，这是不对的。

本题启示：根据问题情境来识别函数图象时，首先一定要弄清楚函数中两个变量所代表的实际意义，其次要认真看图，分析清楚函数图象的特征及两个变量在每一段的变化趋势，将变量在每一段的变化趋势与实际情境结合起来考虑，去推断运动变化情境的状况,要能抓住一些特征点与线。

如上例中函数图象与x轴相交了，说明他在家里；第二段与x轴平行了，说明纵坐标没有变化，即距家路程是个固定的值，但时间在变，说明他要么是停下来在休息，要么是在以他家为圆心的弧上运动。

3. 由于学生对于一次函数的图象及相关性质掌握不牢，应用不活而出现的错误。

由于学生对于一次函数的图象特征把握不准，对于一次函数中一次项系数和常数项的职能没有弄清，对于两个函数的大小关系确定后，对应的自变量的值在什么范围内，从图象上观察不出，对于自变量和常数项变动后，相应的图象如何移动的规律掌握不到位等等，所产生的错误已屡见不鲜。

典型示例：① 填空：如果一次函数 y =( m — 1) x +( n — 2)的图象不经过第一象限，则 m 范围是 ______________ , n 的取值范围是 _______________ .② 选择：一次函数y^ kx b 与y 2 = x • a 的图象如图，则下列结论 i k 0 ； iiiii 当x ：3时，yi ： y 2中，正确的个数是()B . 1C . 2D . 3解析点评: ①本题告诉了： “一次函数y =( m — 1) x +( n — 2)的图象不经过第一象限”，由于 次函数的图象是一条直线，那么它不经过第一象限是什么意思呢？我们需要画图分析， 显然只有其图象从左到右呈现下降趋势，并且与y 轴的交点不在正半轴上时，才会满足的取值③选择：如果将一次函数^-x 3中的常数项改为2,那么它的图象(2A 、向左平移一个单位 C 、向上平移两个单位 常见错误：① 填：m<1, n<2.② 选C D 的较多。

③ 选A B 的较多。

B 、向上平移一个单位 D 、向下平移一个单位这个前提。

因而，它的一次项系数：mi- 1<0 ,同时常数项：n—2< 0,所以得:m<1且n<2.特别要注意，n-2有等于0的可能性，当n=2时，此函数是正比例函数，正比例函数也是特殊的一次函数，这种情况是不能漏掉的。