深圳市2020年中考数学复习试卷一、选择题1.若|a |＝﹣a ，则a 一定是（ ）A. 正数B. 负数C. 正数或零D. 负数或零 【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的计算即可得解.【详解】∵a 的相反数是a -，且||a a =-，∴0a ≤，故选：D.【点睛】本题主要考查了绝对值的相关概念，熟练掌握绝对值的计算是解决本题的关键.2.某日李老师登陆“学习强国”APP 显示为共有16900000名用户在线，16900000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 1.69×106B. 1.69×107C. 0.169×108D. 16.9×106【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式10(1||10)n a a ⨯≤<(n 为整数)即可求解.【详解】将16900000用科学记数法表示为：1.69×107. 故选：B.【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，熟练掌握相关概念是解决本题的关键.3.如图，点A 、O 、B 在一条直线上，∠1是锐角，则∠1余角是（ ）A. 12∠2﹣∠1B. 12∠2﹣32∠1C. 12（∠2﹣∠1）D. 13（∠1+∠2） 【答案】C【解析】【分析】根据余角的相关概念进行求解即可.【详解】由图知：12180∠+∠︒＝， ∴1(12)902∠+∠︒＝， ∴11901(12)1(21)22︒-∠=∠+∠-∠=∠-∠. 故选：C.【点睛】本题主要考查了余角的计算，熟练掌握余角的相关概念是解决本题的关键.4.下列计算正确的是（ ）A. 235+=B. 4a 2﹣a 2＝3C. 2x 2•6x 4＝12x 6D. （a ﹣b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2 【答案】C【解析】【分析】根据实数及整式的混合运算进行求解即可得解.【详解】A.23+，不可合并计算，故此选项错误；B.22243a a a -＝，故此选项错误；C.2462612x x x ⋅＝，正确；D.22()()()()a b a b a b a b a b ---=---++=，故此选项错误；故选：C .【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及实数的计算，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键. 5.从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 棱锥D. 球【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱．故选A．【点睛】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．6.下列事件中，属于必然事件的是（）A. 三角形的外心到三边的距离相等B. 某射击运动员射击一次，命中靶心C. 任意画一个三角形，其内角和是180°D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7.如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A. asinα+asinβB. acosα+acosβC. atanα+atanβD. tan a α+tan a β 【答案】C【解析】【分析】 先分别运用正切和正弦定义求出BD 和BC 的长，然后求和即可.【详解】解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝AB•tanα＝atanα，在Rt △ABD 中，BD ＝AB•tanβ＝atanβ，∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ．故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰角和俯角问题，由三角函数得出BD 和BC 的长是解题的关键. 8.对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如，，，若x 4510+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是（ ）A. 40B. 45C. 51D. 56 【答案】C【解析】【详解】解：根据定义，得x 45<5110+≤+ ∴50x 4<60≤+解得：46x<56≤．故选C ．9.已知关于x 的方程22(1)()2x x b ++-=有唯一实数解，且反比例函数1b y x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 【答案】D【解析】【分析】 关于x 的方程()()22x 1x b 2++-=有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b 的值，然后根据反比例函数1b y x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则比例系数1+b ＜0，则b 的值可以确定，从而确定函数的解析式．【详解】关于x 的方程（x+1）2+（x-b ）2=2化成一般形式是：2x 2+（2-2b ）x+（b 2-1）=0，△=（2-2b ）2-8（b 2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1，∵反比例函数y ＝1b x +的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∴1+b ＜0，∴b ＜-1，∴b=-3，则反比例函数的解析式是：y=13x -，即y=-2x ， 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式，正确利用判别式求得b 的值是关键．10.如图，正方形ABCD 和正△AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC 、CD 分别相交于点G 、H ，则EF GH的值是（ ）A. 622 3 D. 2【答案】C【解析】【详解】解：如图，连接AC 、BD 、OF ，，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=rsin60°=32r，∴EF=3232r r⨯=，∵AO=2OI，∴OI=12r，CI=r-12r=12r，∴12 GH CIBD CO==，∴11222GH BD r r==⨯=，∴33 EF rGH r==即则EFGH3故选C．【点睛】本题考查圆的综合题．11.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm【答案】C【解析】【分析】根据比例关系即可求解.【详解】∵模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.60， ∴165x ＝0.60， 解得：x ＝99，设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：99165y y ++＝0.618， 解得：y ≈8．故选C ．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.12.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE=CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH ，则以下四个结论：①△BDF ≌△DCE ；②∠BMD=120°；③△AMH 是等边三角形；④S 四边形ABCD =34AM 2． 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， AB=BD ，∴AB=BD=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠BDF=∠C=60°，又∵BE=CF ，∴BC ﹣BE=CD ﹣CF ，即CE=DF ，在△BDF 和△DCE 中，60CE DF BDF C BD CD =∠⎪︒⎧=∠=⎪⎨⎩=， ∴△BDF ≌△DCE （SAS ），故①小题正确；∴∠DBF=∠EDC ，∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，∴∠BMD=180°﹣∠DMF=180°﹣60°=120°，故②小题正确；∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，∴∠DEB=∠ABM，又∵AD∥BC，∴∠ADH=∠DEB，∴∠ADH=∠ABM，在△ABM和△ADH中，AB ADADH ABM DH BM=∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，∴△ABM≌△ADH（SAS），∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；∵△ABM≌△ADH，∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，又∵△AMH的面积=1 2AM•3AM=3AM2，∴S四边形ABMD=3AM2，S四边形ABCD≠S四边形ABMD，故④小题错误，综上所述，正确的是①②③共3个．故选C．【点睛】本题考查菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．二、填空题13.若tan（α–15°）3，则锐角α的度数是__________．【答案】75°【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得（α–15°）的度数，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】由tan(α−15°)=3，得α−15°=60°，解得α=75°， 故答案为75°【点睛】考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角是三角函数值是解题的关键.14.若关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围________．【答案】1k <且0k ≠【解析】【分析】分析：关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根所以k≠0且△=b²-4ac>0,建立关于k 的不等式组,解得k 的取值范围即可. 详解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根,∴k≠0且△=b²-4ac=36-36k>0,解得k<1且k≠0.故答案为k<1且k≠0.点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1) △>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2) △=0⇔方程有两个相等的实数根;(3) △<0⇔方程没有实数根.【详解】请在此输入详解！15.如图，AB 和CD 是圆柱ABCD 的两条高，现将它过点A 用尽可能大的刀切一刀，截去图中阴影部分所示的一块立体图形，截面与CD 的交点为P ，连结AP ，已知该圆柱的底面半径为2，高为6，截去部分的体积是该圆柱体积的13，则tan BAP ∠的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据题意得出线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的23，线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的13，即可得出AE的长，进而求出即可．【详解】过点P作PE⊥AB于点E，∵如图所示：截去部分的体积是该圆柱体积的13，∴线段PE上面部分的体积是该圆柱体积的23，∴线段PE下面部分的体积是该圆柱体积的13，∴PC=13DC=6×13=2，∴AE=DP=6-2=4，∵圆柱的底面半径为2，则PE=4，∴tan∠BAP=PEAE=44=1．故答案为1【点睛】此题主要考查了圆柱体的计算以及锐角三角函数应用等知识，根据题意得出各部分的体积比是解题关键．16.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c ＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）【答案】③④【解析】【详解】由抛物线的开口向下，可得a ＜0；由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，可得c ＞0；因对称轴为x=2b a-=1，得2a=-b ，可得a 、b 异号，即b ＞0，即可得abc ＜0，所以①错误； 观察图象，根据抛物线与x 轴的交点可得，当x=-1时，y ＜0，所以a-b+c ＜0，即b ＞a+c ，所以②错误； 观察图象，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x=2b a -=1可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c ＞0，所以③正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与系数的关系：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线与x 轴交点个数：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．三、解答题17.先化简，再求值：2532236x x x x x -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中x 满足2310x x +-=. 【答案】3.【解析】【分析】先将括号里面进行通分，然后对分子分母进行因式分解，最后约分得到最简形式，再由x 2+3x －1=0得到x 2+3x =1，将x 2+3x 整体带入化简后的式子求值.【详解】原式=()()2252x x x +---÷ ()332x x x -- =292x x --×()323x x x -- =()()332x x x +--×()323x x x -- =3x 2+9x ，∵x 2+3x －1=0，∴x 2+3x =1，∴原式=3x 2+9x =3（x 2+3x ）=3×1=3.【点睛】（1）掌握分式的化简；（2）掌握整体的思想.18.解不等式组21114(2)x x x +≥-⎧⎨+>-⎩【答案】﹣1≤x ＜3【解析】【分析】根据一元一次不等式组的求解方法进行计算即可得解.【详解】解不等式211x +≥-，得：1x ≥-，解不等式14(2)x x +>-，得：x ＜3，则不等式组的解集为13x -≤<.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键.19.为了解某区八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该区八年级学生部分学生进行调查.已知D 组的学生有15人，利用抽样所得的数据绘制所示的统计图表.一、学生睡眠情况分组表（单位：小时）二、学生睡眠情况统计图根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）试求“八年级学生睡眠情况统计图”中的a 的值及a 对应的扇形的圆心角度数；（2）如果睡眠时间x （时）满足：7.59.5x ≤≤，称睡眠时间合格.已知该区八年级学生有3250人，试估计该区八年级学生睡眠时间合格的共有多少人？（3）如果将各组别学生睡眠情况分组的最小值（如C 组别中，取8.5x =），B 、C 、D 三组学生的平均睡眠时间作为八年级学生的睡眠时间的依据.试求该区八年级学生的平均睡眠时间.【答案】（1）5%a =，a 对应扇形的圆心角度数为18︒；（2）该区八年级学生睡眠时间合格的共有1950人；（3）该区八年级学生的平均睡眠时间为8.5小时．【解析】【分析】（1）根据各部分的和等于1即可求得a ，然后根据圆心角的度数=360︒×百分比求解即可；（2）合格的总人数=八年级的总人数×八年级合格人数所占百分比；（3）分别计算B 、C 、D 三组抽取的学生数，然后根据平均数的计算公式即可求得抽取的B 、C 、D 三组学生的平均睡眠时间，即可估计该区八年级学生的平均睡眠时间．【详解】（1）根据题意得：()125%35%25%10%5%a =-+++=；a 对应扇形的圆心角度数为：360︒×5%=18︒；（2）根据题意得：()325025%35%1950⨯+=（人），则该区八年级学生睡眠时间合格的共有1950人；（3）∵抽取的D 组的学生有15人， ∴抽取的学生数为：156025%=（人）， ∴B 组的学生数为：6025%15⨯=（人），C 组的学生数为：6035%21⨯=（人），∴B 、C 、D 三组学生的平均睡眠时间：157.5218.5159.5433.58.515211551⨯+⨯+⨯==++（小时）， 该区八年级学生的平均睡眠时间为8.5小时．【点睛】本题主要考查的是扇形统计图的认识以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．20.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．（1）求证：CE⊥AB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）24．【解析】【分析】（1）连结OC，如图，根据圆周角定理得∠POC=2∠CAB，由于∠POE=2∠CAB，则∠POC=∠POE，根据等腰三角形的性质即可得到CE⊥AB；（2）由CE⊥AB得∠P+∠PCE=90°，加上∠E=∠OCD，∠P=∠E，所以∠OCD+∠PCE=90°，则OC⊥PC，然后根据切线的判定定理即可得到结论．（3）设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9），解出x，即可得圆的半径；同理可得PC2=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，可计算出PC，然后在Rt△OCP中，根据正切的定义即可得到tan∠P的值．【详解】解：（1）证明：连接OC，∴∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB．∴∠COD=∠EOD，又∵OC=OE，∴∠ODC=∠ODE=90°，即CE⊥AB；（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°， 又∠OC D=∠E ，∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线；（3）解：设⊙O 的半径为r ，OD=x ，则BD=2x ，r=3x ，∵CD ⊥OP ，OC ⊥PC ，∴Rt △OCD ∽Rt △OPC ，∴OC 2=OD•OP ，即（3x ）2=x•（3x+9），解之得x=32， ∴⊙O 的半径r=92， 同理可得PC 2=PD•PO=（PB+BD ）•（PB+OB ）=162，∴PC=92，在Rt △OCP 中，tan ∠P=2OC PC ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会条件出发与直线，灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题． 21.甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y （千米）与出发后所用时间x(小时）之间的函数关系如图所示.（1）求甲、乙两车行驶的速度V 甲、V 乙.（2）求m 的值.（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇.【答案】（1）甲的速度是60km/h ，乙的速度是80km/h ；（2）m=70；（3）314【解析】【分析】（1）设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，根据图形找到等量关系列出二元一次方程组即可求解；（2）求出0.5h乙走的路程，根据图像即可求解；（3）求出甲车没有故障停车两车相遇的时间即可比较.【详解】（1）设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，根据函数图像可得0.5()701.5180x yx y+=⎧⎨+=⎩解得6080 xy=⎧⎨=⎩故甲的速度为60 km/h，乙的速度为80 km/h（2）甲车故障后，0.5h乙走的路程为0.5×80=40，∴m=110-40=70（3）甲车没有故障停车两车相遇的时间为180 6080+=97∴可以提前1.5-97=314h.【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到等量关系求出甲乙两车的速度.22.如图，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a ＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒.（1）若a＝2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？（2）已知M为AC上一点，若当t＝32时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P的运动速度.（3）在P、Q两点运动过程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x1•x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x 1+x 2＝﹣b a ，x 1•x 2＝c a】 【答案】(1)当a ＝2时，t ＝1813秒或3011秒时，△BPQ 与△BDA 相似;(2)点P 的速度是2.5厘米/秒;(3)点P 的速度应大于或等于103厘米/秒. 【解析】【分析】 （1）根据相似的性质，分情况讨论当△BPQ ∽△BDA 时及当△BQP ∽△BDA 时，进行列式计算即可得解； （2）根据△BPQ ∽△BAC ，由相似比即可求出P 的速度；（3）根据△BEP ∽△BDA ，进而求出ABD ∆和BPQ ∆的面积表达式后即可得解.【详解】（1）当a ＝2时，BP ＝2t ，DQ ＝1×t ＝t ， ∵D 是BC 中点，BC ＝12，∴BD ＝DC ＝6，∴6BQ t -＝；①当△BPQ ∽△BDA 时，如图1，则有BP BQ BD BA=， ∵BP ＝2t ，BD ＝6，6BQ t -＝，BA ＝10，∴26610t t -=， 解得：1813t ＝；②当△BQP ∽△BDA 时，如图2，则有BQ BP BD BA=， ∵BP ＝2t ，BD ＝6，6BQ t -＝，BA ＝10，∴26106t t -=，解得：3011t ＝； ∴当a ＝2时，1813t ＝秒或3011t ＝秒时，△BPQ 与△BDA 相似； （2）当t ＝32且四边形PQCM 是平行四边形时，如图3， 则有PQ ∥AC ，BP ＝32a ，DQ ＝1×32＝32，BQ ＝39622-=， ∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BAC ，∴BQ BP BC BA=， ∵BP ＝32a ，BA ＝10，BQ ＝92，BC ＝12， ∴39221012a =， 解得：a ＝2.5，∴点P 的速度是2.5厘米/秒；（3）作PE ⊥BC ，垂足为E ，如图4，∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝10，BD ＝6，∴AD ＝8，∵PE ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴△BEP ∽△BDA ， ∴EP BP AD BA =， ∵AD ＝8，BP ＝at ，BA ＝10，∴810EP at =， ∴45EP at =， ∴1142(6)(6)2255BPQ S BQ EP t at at t ⋅=-⋅=-V ＝， ∵线段PQ 平分△ABD 的面积，∴12BPQ ABD S S V V ＝， ∴211(6)68522at t -=⨯⨯⨯， 整理得：26300(0)at at a -+>＝，由题可得：2(6)4300a a -∆=-⨯≥，解得：103a ≥， 此时121230060t t t t a⋅+＝＞，＝＞， ∴方程26600at at +-＝有两个小于6的正实根，∴点P 的速度应大于或等于103厘米/秒.【点睛】本题主要考查了相似的综合运用，熟练掌握三角形相似的性质及判定是解决本题的关键.23.如图，在平面直角标系中，抛物线C ：y ＝2323333x x +-x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为y 轴正半轴上一点．且满足OD ＝23OC ，连接BD ， （1）如图1，点P 为抛物线上位于x 轴下方一点，连接PB ，PD ，当S △PBD 最大时，连接AP ，以PB 为边向上作正△BPQ ，连接AQ ，点M 与点N 为直线AQ 上的两点，MN ＝2且点N 位于M 点下方，连接DN ，求DN+MN+32AM 的最小值 （2）如图2，在第（1）问的条件下，点C 关于x 轴的对称点为E ，将△BOE 绕着点A 逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y ＝23233x x +-沿着射线PA 方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E ，此时抛物线C′与x 轴的右交点记为点F ，连接E′F ，B′F ，R 为线段E’F 上的一点，连接B′R ，将△B′E′R 沿着B′R翻折后与△B′E′F 重合部分记为△B′RT ，在平面内找一个点S ，使得以B′、R 、T 、S 为顶点的四边形为矩形，求点S 的坐标．【答案】解：（112173+；（2）（13231233）或（﹣2，3）． 【解析】【分析】 （1）由抛物线解析式求点A 、B 、C 坐标，由OD=23OC 求点D 坐标．设点P 横坐标为t ，可用待定系数法求得用t 表示的直线PB 解析式，即能用t 表示PB 与y 轴交点G 的坐标，进而用t 表示DG 的长．以DG 为界把△PBD 分成左右两边的△PDG 与△BDG ，则以DG 为底计算易求得△PBD 面积与t 的二次函数关系式，求对称轴即得到△PBD 最大时t 的值，进而得到点P 坐标．求得∠ABP=30°，即x 轴平分∠PBQ ，故点P 、Q 关于x 轴对称，得到点Q 坐标，进而得到直线AQ 解析式，发现∠QAB=∠PAB=60°．作直线AP ，可得直线AQ 与AP 夹角为60°，过点M 作MH ⊥AP 于H ，即构造出特殊Rt △MAN ，得到3．把点D 平移到D'，使DD'∥MN 且DD'=MN ，构造平行四边形MNDD'，故DN=D'M ．所以DN+MN+2AM 可转化为MN+D'M+MH ．易得当点D'、M 、H 在同一直线上时，线段和会最短，即过D'作D'K ⊥AP 于K ，D'K 的值为所求．根据平移性质求D'坐标，求直线D'K 与直线AP 解析式，联立方程组求得K 的坐标，即求得D'K 的长．（2）抛物线平移不改变开口方向和大小，再求得点E 坐标和点A 坐标，可用待定系数法求平移后的解析式，进而求得点F ．由旋转性质可得△ABB'与△AEE'为等边三角形，求出点E'、B'坐标，B'F ⊥x 轴且△B'E'F 为含30°的直角三角形．把点R 从E'移动到F 的过程，发现∠RB'T 一定小于90°，不可能成为矩形内角，故只能是∠B'RT 或∠B'TR=90°．点T 可以在E'F 上，也可以在B'F 上，画出图形，根据含30°的直角三角形三边关系计算各线段长，即能求点S 坐标．【详解】解：（1）如图1，过点D 作DD'∥MN ，且DD'＝MN ＝2，连接D'M ；过点D'作D'J ⊥y 轴于点J ； 作直线AP ，过点M 作MH ⊥AP 于点H ，过点D'作D'K ⊥AP 于点K∵y＝233x x +0 解得：x 1＝﹣3，x 2＝1∴A （﹣3，0），B （1，0）∵x ＝0时，y2x +∴C （0，OC∴OD ＝23OC，D （0） 设P （tt 2﹣（﹣3＜t ＜1） 设直线PB 解析式为y ＝kx+b ，与y 轴交于点G∴2033k b kt b t +=⎧⎪⎨+=+-⎪⎩解得：k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线PB ：y＝（3）x﹣3tG （0，﹣3t∴DG＝3﹣（﹣3t3t+3 ∴S △BPD ＝S △BDG +S △PDG ＝12DG•x B +12DG•|x P |＝12DG•（x B ﹣x P ）＝12（3t+3）（1﹣t ）＝﹣6（t 2+4t ﹣5）∴t ＝﹣42＝﹣2时，S △BPD 最大 ∴P （﹣2，直线PB 解析式为yAP 解析式为y﹣∴tan ∠ABP ＝PB P y x x -= ∴∠ABP ＝30°∵△BPQ 为等边三角形∴∠PBQ ＝60°，BP ＝PQ ＝BQ∴BA 平分∠PBQ∴PQ ⊥x 轴，PQ 与x 轴交点I 为PQ 中点∴Q （﹣2∴Rt △AQI 中，tan ∠QAI＝QI AI ==∴∠QAI ＝∠PAI ＝60° ∴∠MAH ＝180°﹣∠PAI ﹣∠QAI ＝60°∵MH ⊥AP 于点H∴Rt △AHM ＝90°，sin ∠MAH＝MH AM = ∴MH＝2∵DD'∥MN ，DD'＝MN ＝2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M ＝DN∴DN+MN+2AM ＝2+D'M+MH ∵D'K ⊥AP 于点K∴当点D'、M 、H 在同一直线上时，＝2+D'M+MH ＝2+D'K 最短 ∵DD'∥MN ，D （0） ∴∠D'DJ ＝30°∴D'J ＝12DD'＝1，DJ∴D'（1，3） ∵∠PAI ＝60°，∠ABP ＝30°∴∠APB ＝180°﹣∠PAI ﹣∠ABP ＝90°∴PB ∥D'K设直线D'K 解析式为y， 把点D'+d解得：d∴直线D'K ：y＝3x+3 把直线AP 与直线D'K 解析式联立得：33y y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：134x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴K （﹣134∴D'K246⎫⎪=⎪⎭∴（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2∵点C（0）关于x轴的对称点为E∴E（0∴tan∠EAB＝0E OA=∴∠EAB＝30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E∴设抛物线C'解析式为：y＝3x2∵抛物线C'经过点A（﹣3，0）∴3×9﹣解得：m∴抛物线C'解析式为：yx22＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1∴F（﹣1，0）∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE==∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上∴E'（﹣3，，B'（﹣1，）∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝22(13)(23)4-++=∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E''∴∠E'B'T＝30°，B'T＝32B'E'＝3∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2 ∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣3∴Rt△RTE''中，RT＝3E''T＝23﹣3 ∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝23﹣3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°∴B'W＝12SB'＝3﹣32，S W＝32SB'＝3﹣332∴x S＝x B'﹣B'W＝132，y S＝y B'+SW＝3+∴S（132-3+32）②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R＝12B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S＝RT＝E'R＝1∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°∴XS＝12B'S＝12，B'X33∴x S＝x B'+XS＝﹣12，y S＝y B'﹣B'X33∴S（﹣1233③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R＝E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'＝E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S（﹣2，23）综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（132，3+3）或（﹣12，33）或（﹣2，23）．【点睛】考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，特殊三角函数的应用，勾股定理，垂线段最短，等边三角形的性质，平移、旋转、轴对称的性质，菱形、矩形的判定和性质．第（1）题求线段和的最小值，要把长度会变化的线段转化到能连成一条直线的位置上，第（2）题要充分利用30°特殊直角三角形三边关系计算，运用旋转、轴对称性质解题．整题考查知识点全面，计算较复杂，难度较大．。