一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。
中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-定积分（应用）知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。
模块七 定积分（应用）Ⅰ经典习题一．平面图形的计算1、曲线()sin 03xy ex x π-=≤≤与x 轴所围成图形的面积可表示为（）()30sin xA e xdx π--⎰ ()30sin x B e xdx π-⎰()2302sin sin sin x x x C e xdx e xdx e xdx πππππ----+⎰⎰⎰()2302sin sin xx D e xdx e xdx πππ---⎰⎰2、设b 为常数（1）求曲线321:(2)x bx L y x x ++=+的斜渐近线（记为l ）的方程（2）设L 与l 从1x =延伸到x →+∞之间的图线的面积A 为有限值，求,b A3、曲线2yx =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.4、假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.5、求曲线y =l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小. 6、计算抛物线22yx =与直线4y x =-所围成的图形面积。
7、求椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积。
8、求下列各曲线围成的图形的面积 （1）2cos a ρθ=（2）()22cos aρθ=+二．简单几何体的体积9、曲线()211y x =--及直线0y =围成的图形绕y 轴旋转而成的立体的体积是（ ）()(2101A dy π+⎰ ()(211B dy π-⎰()((21011C dy ππ⎡⎤-⎣⎦⎰ ()((221011D dy ππ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦⎰ 10、设曲线方程为(0).xy e x -=≥（1）把曲线、xy ex -=轴、y 轴和直线(0)x ξξ=>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积();V ξ求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.11、设抛物线2yax bx c =++过原点，当01x ≤≤时0,y ≥又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为1.3试确定,,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.12、过坐标原点作曲线x y e =的切线，该切线与曲线xy e =以及x 轴围成的向x 轴负向无限延伸的平面图形记为D （1）求D 的面积（2）求D 饶直线1x =所成旋转体体积V13、设曲线2y ax =（0,0x a ≥>）与曲线21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形D（1）求D 饶x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a （2）求a 的值使()V a 为最大14、在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为1,12试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
15、过原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =以及x 围成平面图形D （1）求D 的面积（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V16、求曲线23|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积. 17、设曲线24y ax =及直线()000x x x =>所围成图形绕x 轴旋转的体积。
三．曲线弧长（*数学一、数学二）18、曲线()0,0b r aea b θ=>>，从0θ=到()0θαα=>的弧长为（）()0b A s ae αθθ=⎰ ()0B s θ=⎰()0C s θ=⎰()0b D s abe αθ=⎰19、计算曲线ln y x =x ≤≤ 20、求对数螺旋线a e θρ=，相应于0θϕ≤≤的一段弧长。
21、求曲线1ρθ=，相应于3443θ≤≤的一段弧长。
22、求心形线()1cos a ρθ=+的全长。
23、求抛物线212y x =，被圆223x y +=所截下的有限部分弧长。
四．旋转曲面面积（*数学一、数学二）24、已知摆线的参数方程为(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，其中02t π≤≤，常数0a >，设摆线一拱的弧长的数值等于该弧段饶x 轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求a25、设有曲线y =过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 26、由曲线段1(02)2y x x =≤≤绕x 轴的旋转面面积.五．物理应用（*数学一、数学二）27、曲线()sin x a t t =-，()()1cos ,02y a t t π=-≤≤的质心为()4,3A a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()2,3B a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()5,4C a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()7,4D a a π⎛⎫ ⎪⎝⎭28、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需要多少功？29、一圆柱形的贮水桶高为5m ，底圆半径为3m ，桶内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出来需要做多少的功。
30、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm 。
如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问铁锤第二次时，铁钉又击入多少？31、等腰梯形的闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力(重力加速度按29.8/m s 计算)。
32、一底为8cm ，高为6cm 的等腰三角形片，铅直的沉入到水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它的每面所受的压力(重力加速度按29.8/m s 计算)。
33、求下列平面图形的形心坐标： （1）平面区域：(){}221,|1,0,0D x y xy x y =+≤≥≥；（2）曲线：221,0,0x y x y +=≥≥； （3）平面区域：(){}222,|1,11,01D x y xy x y =+≥-≤≤≤≤.Ⅱ参考答案一．平面图形的计算1、()C2、【解析】：（1）321:(2)x bx L y x x ++=+的斜渐近线为3221lim lim2(2)x x y x bx x x x →+∞→+∞++==+ 3332212124lim (2)lim [2]lim 4(2)(2)x x x x bx x bx x x y x x x x x x →+∞→+∞→+∞++++---=-==-++ 所以斜渐近线方程为：24y x =-（2）311115121(8)122[(24)][](2)(2)2A b x bx b x S x dx dx dx x x x x x x+∞+∞+∞+++++=--==++++⎰⎰⎰ 215111lim[(215)ln(2)ln ]lim[ln (2)(215)ln 3]22t b t t b x x t t b +→+∞→+∞=+++=+-+ 若21510b ++≠，即如果8b ≠-，无论8,8b b >-<-均有215lim ln (2)b t t t +→+∞+=∞ 这与A 的面积为有限值矛盾，所以当8b =-时，215lim ln (2)lim ln2b t t t t t t +→+∞→+∞+==+0，此时ln 32A S = 3、【答案】92【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2212S x x dx -=+-⎰22311192.232x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭4、【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩得 11x ,a a y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以22331a=⋅+,即12a +=,解得3a .= 5、【解析】过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(,)t t 处的切线方程为()2y t x t t-=-,化简即得 2ty t=+. 面积 24()232t S t x dx t t t ⎡⎤⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数 3/21/211()222S t t t t t--'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+. 6、答案：187、答案：ab πy O2tt8、（1）答案：2a π（2）答案：218a π二．简单几何体的体积9、()D10、【解析】：（1）2220()(1),2x V y dx e dx e ξξξπξππ--===-⎰⎰2lim (),()(1).22a V V a e ξππξ-→+∞==-要 1()lim (),2V a V ξξ→+∞=即2(1),24a e ππ--=得1ln 2.2a = （2）设切点为(,),eαα-则切线方程为().y e e x ααα---=--令0x =得(1);y e αα-=+令0y =得1.x α=+切线与坐标轴所夹面积22111(1),(1)(1)(1)(1).222S e S e e e ααααααααα----'=+=+-+=+-令 0S '= 得1221,1().其中舍去ααα==-由于当1α<时，0;S '>当1α>时，0.S '<故当1α=时，面积S 有极大值，即最大值。