p px i py j pz k p | p| | p| | p|
p cosi cos j cosk
p
【例】 在平行四边形 ABCD 中, AB a, AD b .
试用 a , b 表示向量 MA, MB, MC, MD, 这里 M 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点.
【解】 MB MD
13
向量的标准分解
【坐标向量】 空间坐标系中, 单位向量 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)
称为坐标向量.
【向量的标准分解】
z
p pxi py j pzk
k
向量 p 在三个坐标轴上的投影
j
px , py , pz 称为 p 的坐标，
i
x
O
y
向量 p经常表示为 p( px , p y , pz )
(a1c1 b1c1 ) (a2c2 b2c2 ) (a3c3 b3c3 )
(a1c1 a2c2 a3c3 ) (b1c1 b2c2 b3c3 )
ac bc 29
【例1】 已 知 空 间 三 点 M(1,1,1), A(2, 2,1), B(2,1, 2) , 求AMB.
【解】 a MA (1,1,0),
a b a (b) (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ).
z a
C(c1,c2 ,c3 )
(b1 ,b2 ,b3 )B b
b (b1,b2 ,b3 )
a
b
A(a1,a2 ,a3 )
a
y
x O(0,0,0)
17
若向量 a (a1, a2 , a3 ), 则 a 的模
| a | a12 a22 a32 .
8
3. 空间直角坐标系
(1) 在空间中取一定点 O ;
(2) 过点 O 作三条两两互 相垂直, 且成右手系的
拇指方向 z
数轴:
•1
Ox Oy Oz
••
•1 O 1
y
x
9
【坐标平面】 xOy, yOz, zOx 面
(,,) Ⅲ
(,,) yOz面 Ⅳ
xOy面
z
zOx 面 (,,) Ⅱ
O
y
Ⅰ (,,)
(3) 当 0 时, a 0.
(4) a (1)a;
(5)
a0
1 |a
|
a
为与
a
同向的单位向量.
2a
参照 a 画出 a,
2a ,
1 2
a
.
a
a
1 2
a
6
【向量线性运算的性质】
(1)
a
b
b
a;
(2)
(a
b)
c
a
(b
c);
(3) (a b) a b ;
(4)
(
)a
a
a
z
a
A(a1,a2 ,a3 )
O
y
x
18
【例】如图, 用坐标表示向量 OE, GB, DC .
【解】 B (1, 1, 0), C (0, 1, 0), D (1, 0, 1), E (1, 1, 1),
z
1G
F
D
E
G (0, 0, 1);
OE (1,1,1), GB (1 0,1 0,0 1)
O 1 xA
Cy 1
B
(1,1,1) DC (0 1,1 0,0 1)
(1,1,1)
【公式】 (a1 , a2 , a3 ) (a1 , a2 , a3 )
当 0 时, A, B 在原点O的同一侧, 即 a 与 b同向; 当 0 时, A, B 在原点O的两侧, 即 a 与 b 反向;
则
Pr jba
| OP |
;
若 90 180 ,
则
Pr jba | OP | .
(2) a b a b 0 .
(3)
aa
|
a
|2
;
|a|
aa
,
且a
a
（0 a
0）.
27
【定理1】在空间直角坐标系中, 若 a (a1, a2 , a3 ),
b (b1,b2,b3 ), 则 a, b 的数量积
b MB (1,0,1), AMB arccos a b
|a | |b |
arccos 1 2 2
arccos
1 2
60
a, b arccos a b
|a| |b|
B
b
M a
A
30
2. 两个向量的向量积(由两个向量造一个新向量)
称为向量的坐标表示或代数表示
z a
C(c1,c2 ,c3 )
B(b1,b2 ,b3 )
a
A(a1,a2 ,a3 )
y
x O(0,0,0)
【向量的坐标】 设 a BC 为空间直角坐标系中的一个 向量. 将 a自由平移使其起点与原点O 重合, 终点为
A(a1 , a2 , a3 ) ; 有序数组 a1 , a2 , a3 称为向量 a 的坐标, 记为
(,,)
VII x
Ⅵ
Ⅷ (,,)
Ⅴ (,,) (,,)
【卦限】空间直角坐标系共有八个卦限.
10
空间点的坐标
P点的坐标为( x, 0, 0) ; Q点的坐标为(0, y, 0) ; A点的坐标为( x, y, 0) ; R点的坐标为(0, 0, z) ; M点的坐标为( x, y, z) .
z
R •z
BC (a1, a2 , a3 ).
15
z a
C(c1,c2 ,c3 )
B(b1,b2 ,b3 )
a
A(a1,a2 ,a3 )
y
x O(0,0,0)
【公式】 在前面的条件下
BC (c1 b1, c2 b2 , c3 b3 ).
由于线段 BC 平行平移与OA重合, 因而点C 的坐标
从而
(c1 , c2 , c3 ) (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 );
1 2
{(a12
a22
a32 )
(b12
b22
b32 )
[(b1 a1 )2 (b2 a2 )2 (b3 a3 )2 ]}
a1b1 a2b2 a3b3 .
28
由上述定理, 通过直接、简单的代数验算, 很轻松地 得到下列有关数量积的性质.
【向量内积的性质】
(1) a b b a (交换律); (2) (a b) c a c b c (数量积对加法的分配律);
第三章 向量代数与几何应用
本章主要内容: 空间直角坐标系 向量及其坐标 向量的数量积与向量积 平面方程 空间直线方程及其方程
1
3.1 空间直角坐标系
本节主要内容： 空间直角坐标系 空间点的坐标 空间两点间的距离
2
1. 空间向量
【数学中的向量】 空间中的一个箭头(有方向的线段).
【向量的表示】 若向量的起点为 A, 终点为 B , 我们用 AB 表示此向量.
;
(5) ()a ( a). (6) a 0 a ;
(7) (8)
a 1a
(a) a
0;
且
(1)a
a
7
向量的夹角 a,b
向量 a 在向量 b上的投影
b a a cos
a, b 投影性质 (c 0)
(1) c (a) c a (2) c (a b) c a c b
当 0时，上式显然成立.
向量的方向角与方向余弦
【两个向量的夹角】 对于两个向量 a, b , 它们之间
由 0 到 的夹角称 a 与 b 的夹角, 记为 a, b .
b
a
z
【向量的方向角】 向量 a 与坐
标向量 i , j , k 的夹角
, ,
称为向量 a 的方向角; 称
cos, cos , cos
z
1
O 1
1
x
y
24
3.2 向量的内积、外积与混合积
向量的内积 向量的外积 向量的混合积
25
1. 两个向量的数量积
【常力作功】 如图, F 为一个常力(大小和方向不变的 力), 一物体在 F 的作用下沿直线由 M1移动到 M 2, 则 在此过程中F 所作的功
W | F1 | | M1M2 | ( | F | cos ) | M1M2 |
定义 a 与 b 的和为 a b OC ; 定义 a 与 b 的差为 a b a (b ) BA.
C
B b
ab
a
b
A
平行四边形 法则或三角 形法则
O
a
数乘向量(用一个数和一个向量造新的向量)
【定义】设 a 为一个向量, 为一个实数, 则 a 按下
列规定表示一个向量: (1) 当 0 时, a与 a 同向, |a | | | |a |; (2) 当 0 时, a与 a 反向, |a | | | |a |;
|
F
|
|
M 1 M2
F2
|
cos
F
F1
M1
M2
26
【定义1】 设 a, b 为两个向量, 它们的夹角为
(0
为向量a 与
),a则 b称 实| a数| |
b 的数量积.
b
|
cos
【评注】
Prjb a
(1)
a
实 数 b0
|
a
|
cos
称向量a 在向量b 上的投影.
O
A
a
ba
bP
B
若 0 90 ,
a
B