例 4．如图所示，已知 AB⊥BC 于 B，EF 分别交 AC、BC 于 E、F，∠A+∠AEF=180°，求 证：EF⊥BC。 精析：由∠A 与∠AEF 互补可推得 AB//EF，然后由 AB⊥BC 可 推出 EF⊥BC。这样就把推论两条直线垂直的问题转化成证明两条直 线平行的问题。 证明：∵∠A+∠AEF=180°（已知） ∴ AB//EF（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠B=∠EFC（两直线平行，同位角相等）
3、如图，已知 EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。
4、已知 AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为 D、G，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的 大小关系？试说明理由.
7
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三、两组平行线构造平行四边形 1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2 和∠D 互余，BE⊥FD 于 G． 求证：AB∥CD ．
4
分∠ 度数。
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∴∠AOC=180°-∠COF-∠BOF =180°-90°-24° =66° 又∵OE 平分∠AOC
∴∠COE=
∠AOC
=
×66°
=33° 即∠COE 的度数为 33°。 以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。 例 3．如图所示，AB//EF，求证：∠BCF=∠B+∠F。 精析：过点 C 作 CD//AB，则∠B=∠1，由平行公理 还可推出 CD//EF， ∴∠2=∠F，∴有∠BCF=∠B+∠F。 证明：过点 C 作 CD//AB， 则∠B=∠1（两条线平行，内错角相等） ∵ AB//EF（已知），CD//AB ∴ CD//EF（平行公理推论） ∴∠F=∠2（两直线平行，内错角相等） ∴∠1+∠2=∠B+∠F 即∠BCF=∠B+∠F。
4．已知：如图，AB∥DE，CM 平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
5.如图已知直线 a∥b，AB 平分∠MAD，AC 平分∠NAD，DE⊥AC 于 E，求证：∠1= ∠2．
M A 2 1 E b N a
4、求证：三角形内角之和等于 180°．
B
D
C
五、寻找角之间的关系 1、如图 2-97,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.
2、如图，E 点为 DF 上的点，B 为 AC 上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证 DF∥ AC．
D
3 2
E
1 4
F
A
(第 22 题)
B
C
3、如图，M、N、T 和 A、B、C 分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
四、证特殊角
1、 AB∥CD， ∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点 E， 则∠AEC 的度数是
．
2、 AB ∥ CD ，直线 EF 与 AB 、 CD 分别相交于 E 、 F 两点， EP 平分∠ AEF ， 过点 F 作 PF EP 垂足为 P ，若∠ PEF ＝30 0 ，则∠ PFC ＝ _____．
B G D 1 2 F A
图7
图8
E
8
C
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3、如图，已知：DE∥AC，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC，∠1 与∠2 互余，求证： DG∥EF.
2、已知，如图，BCE、AFE 是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD∥BE。
A 2 1 3 D F 4
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3．如图 12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于 E，BE 交 CD 于点 F，∠1 + ∠2 = 90°． 求证： （1）AB∥CD； （2）∠2 &CD，此时 A 、 AEF 、 EFC 和 C 的关系又如何？你能找出其 中的规律吗？
A E B
F C D
3、将题变为如下图：AB//CD
A E F D B
C
此时 A 、 AEF 、 EFD 和 D 的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ 4、如图，AB//CD，那么 A、C与AEC 有什么关系？
（1 ）
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（2 ） （3）∵∠POE=∠1+∠2（全量等于部分之和） = (∠AOB+∠BOC)（等量代换） = ×180°（等量代换） =90° ∴ OP⊥OE（垂直定义） 整个证明过程由 3 部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。 例 2、已知如图，∠AOC，∠BOD 为对顶角，OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD，求证：OE， OF 互为反向延长线。 分析：（1）OE，OF 互为反向延长线是指 EOF 为一条直线，即 证明 E、O、F 三点共线。证明这类问题首先要克服视觉给我们带来 的干扰，如∠1 和∠2 并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶 角的必要条件。OE 与 OF 互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证 明的目标。 （2）证明 E、O、F 三点共线通常采用∠EOF=180°，利用平角定义完成三点共线证明。 （3）为证明∠EOF=180°，只要证明∠1+∠AOF=180°，从已知∠AOC 与∠BOD 为对顶角， 可推知 A、O、B 三点共线：即∠AOF+∠2=180°，只要证明∠1=∠2，题设中由∠AOC 和∠BOD 为对顶角又可知∠AOC=∠BOD，又由 OE，OF 分别为∠AOC 和∠BOD 平分线，正好创设了证 明∠1=∠2 的条件。 证明：∵∠AOC，∠BOD 为对顶角（已知） ∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等） ∵OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD（已知）
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∵ AB⊥BC（已知） ∴∠B=90°（垂线定义） ∴∠EFC=90°（等量代换） ∴EF⊥BC（垂线定义）。
课堂练习：
一、平行线之间的基本图 1、如图已知， AB ∥ CD . AF , CF 分别是 EAB 、
ECD 的角平分线， F 是两条角平分线的交点；
A
E F
B
1 求证： F AEC . 2
∴∠1= ∠AOC，∠2= ∠BOD（角平分线定义） ∴∠1=∠2（等量之半相等） ∵∠AOC，∠BOD 为对顶角（已知） ∴AB 为直线（对顶角定义） ∴∠AOF+∠2=180°（平角定义）
2
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∴∠AOF+∠1=180°（等量代换） ∴∠EOF=180°（等量代换） ∴OE，OF 互为反向延长线（平角定义） 九．剖析图形结构，挖掘等量关系 例 3、已知如图，OB⊥OA，直线 CD 过 O 点，∠AOC=20°，求证∠DOB 的度数。 分析： 题设中的条件给出了许多的角的关系， 由 OB⊥OA 可知∠1+∠2=90°； 由 CD 过 O 点， 可知∠2+ ∠BOD=180°，再由∠AOC=20°，很容易求得∠DOB 的度数。 解：（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字） ∵OB⊥OA（已知） ∴∠AOB=90°（垂直定义） ∴∠1+∠2=90°（等量代换） ∵直线 CD 过 O 点（已知） ∴∠COD=180°（平角定义） ∴∠BOD+∠2=180°（等量代换） ∴∠BOD=180°-∠2（等式性质） =180°-(90°-∠1)（等量代换） =90°+∠1（等式性质） ∵∠1=20°（已知） ∴∠BOD=90°+20°（等量代换） =110°（等式性质） 答：∠BOD 的度数为 110°（求解题最后写答） 例 4、 已知如图， OA⊥OC， OB⊥OD， ∠AOD=3∠BOC， 求∠BOC 度数。 分析：由题设条件（∠AOD=3∠BOC，这是有关∠BOC 的关系式， 垂直条件可推出）∠AOB=90°-∠BOC， ∠COD=90°-∠BOC，可见∠AOB，∠COD 都与∠BOC 相关，可运用 数方法，设元，用方程思想解题，直接设 ∠BOC=x，用 x 表示其余的相关角，分析其等量关系，得到关于 x 的方程，这样做，无论从叙 述或思考都比较简捷。 解：设∠BOC=x
3
∴∠2=90°-∠1（等式性质）
的
由 代
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∵∠AOD=3∠BOC（已知） ∴∠AOD=3x 又∵∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD（全量等于部分之和） ∴3x=∠AOB+x+∠COD（等量代换） ∴2x=∠AOB+∠COD（等式性质） ∵OA⊥OC，OB⊥OD（已知） ∴∠AOB=90°-x，∠COD=90°-x（垂直定义） ∴2x=90°-x+90°-x（等量代换） ∴4x=180°（等式性质） ∴x=45°即∠BOC=45° 答：BOC 的度数为 45°。 十．例题： 例 1．如图所示，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠AOC=70°，∠BOE=80°，求∠DOF 的 度数。 精析：∠AOC、∠COE、∠BOE 组成一个平角，而∠AOC、 ∠BOE 的度数为已知，所以，可以先求出∠COE 的度数，再根 据对顶角相等得到∠DOF 的度数。 解：∵AB 是直线（已知）， ∴∠AOC+∠COE+∠BOE=180°（平角的定义）， ∴∠COE=180°-∠AOC-∠BOE ∵∠AOC=70°，∠BOE=80°（已知） ∴∠COE=30°， ∵ CD、EF 相交于点 O（已知） ∴∠COE 与∠DOF 是对顶角（对顶角的定义） ∴∠COE=∠DOF（对顶角相等） ∴∠DOF=30°。 例 2．如图所示，直线 AB 与 CD 相交于 O 点，OE 平 AOC，射线 OF⊥CD 于点 O，且∠BOF=24°，求∠COE 的 解：∵OF⊥CD，∠BOF=24°，
A B
A
B
A B
E C D
E
C
C D
D E
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A B
E C D
二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】 1.已知：如图，CD 平分∠ACB，AC∥DE，∠DCE=∠FEB，求证：EF 平分∠DEB．