一个公式解决“牛吃草”问题主讲教师：贾慕白授课时间：2019.05.22粉笔公考·官方微信一个公式解决“牛吃草”问题（讲义）经典型牛吃草问题【例1】一片牧场，草每天都在以均匀的速度生长。
这片草地可供12头牛吃4天，9头牛吃6天。
那么，请问多少头牛2天就能吃完？A.20B.21C.22D.23【例2】（2012-浙江）某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。
从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。
问如果同时开7个入场口需几分钟？A.18分钟B.20分钟C.22分钟D.25分钟【例3】（2019-联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。
若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。
为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？A.4B.5C.6D.7【例4】（2017-河北）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。
现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。
现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？A.10小时B.9小时C.8小时D.7小时可持续发展型牛吃草问题【例5】（2011-北京）假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采110万立方米，则可开采90年，若每年开采90万立方米，则可开采210年。
为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米？A.30B.50C.60D.75【例6】（2013-国考）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。
如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）A.25B.30C.35D.40拔高型牛吃草问题【例7】（2011-内蒙古）某水库共有10个泄洪闸，当10个泄洪闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24个小时，如水库每小时的入库量稳定，问如果打开8个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位？A.10B.12C.14D.16【例8】（2017-联考）由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。
假设每天降雨量一致，若打开2个水闸放水，则3天后正好到达警戒水位；若打开3个水闸放水，则4天后正好到达警戒水位。
气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。
若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位？A.5B.6C.7D.8【例9】进入冬季，天气变得越来越冷，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃10天，或可供15头牛吃12天。
请问这样的一片草地，可供多少头牛吃20天？A.3B.4C.5D.6【例10】（2013-河北）某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，则45分钟后氧气耗尽。
问如果该氧气罐充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间？A.一个半小时B.两个小时C.两个半小时D.三个小时一个公式解决“牛吃草”问题（笔记）【注意】今天晚上要讲的内容是一个公式解决“牛吃草”问题。
思考两个问题：1.什么是牛吃草问题。
通过引例了解一下。
【引例】一片牧场，草每天都在以均匀的速度生长。
这片草地可供12头牛吃4天，9头牛吃6天。
那么，请问多少头牛2天就能吃完？也就是牛一边在吃草，草也在生长。
2.公式是什么样子。
（1）基本公式：y=（N-x）*T。
y指的是原有草量，牛开始吃之前草地上的草量，N指的是牛的数量，N取的汉语拼音牛niu的首字母N，x指的是草长的速度，T是时间，原有草量=（牛数-草长速度）*时间。
（2）隐含前提：例如N=5，说明是5头牛，草长的速度指的是每天草长的量，单位应该是kg/天，5头牛-kg/天，单位不一样，严格来说是不能减的，这里涉及到一个隐含前提，每头牛吃草的效率（即速度）为“1”，所以“N”的真实含义是指“N头牛吃草的速度为N”。
（3）原理：要解决牛吃草问题靠的都是这个公式，解释下公式的合理性，假定原有草量是40份，牛的数量为5头，牛吃草的速度是5份，草长的速度为1份，5份-1份=4份，4份指的是每天减少4份，40份每天减少4份，可以坚持10天，本质含义是原有草量=每天减少量*时间。
3.核心是记住公式，y=（N-x）*T。
经典型牛吃草问题【例1】一片牧场，草每天都在以均匀的速度生长。
这片草地可供12头牛吃4天，9头牛吃6天。
那么，请问多少头牛2天就能吃完？A.20B.21C.22D.23【解析】例1.牛吃草问题，记住牛吃草公式：y=（N-x）*T。
当N=12时，T=4；当N=9时，T=6，代入公式，y=（12-x）*4①；y=（9-x）*6②；两个方程两个未知数，二元一次方程组，可以解出唯一解。
（12-x）*4=（9-x）*6，解方程时要先约分，24-2x=27-3x，解得x=3，把x=3代入两个方程中的任意一个，可以解出y=36。
问多少头牛2天就能吃完，继续套公式，36=（N-3）*T，T=2天，36=（N-3）*2，解得N=21，对应B项。
【选B】【注意】列出方程，y=（12-x）*4①；y=（9-x）*6②，熟练以后，就可以直接写两个方程相等，（12-x）*4=（9-x）*6，24-2x=27-3x，解得x=3，这样写可以节省时间。
【例2】（2012-浙江）某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。
从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。
问如果同时开7个入场口需几分钟？A.18分钟B.20分钟C.22分钟D.25分钟【解析】例2.开4个入场口需要50分钟，类似4头牛吃50分钟，同理，6个入场口需要30分钟，类似6头牛吃30分钟，完全套用牛吃草问题的公式，y=（N-x）*T，列式：y=（4-x）*50①；y=（6-x）*30②，两个等式相等，20-5x=18-3x，解得x=1，代回①或者②，解出y=150。
150=（N-1）*T，题目问如果同时开7个入场口，说明N=7，150=（7-1）*T，解得T=150/6=25，对应D项。
【选D】【注意】三步走：1.判别：（1）特征：“N（‘牛’数）+T（时间）”形式的排比句，12头牛吃4天，9头牛吃6天，两句话是对称的，变形：4个入场口吃50分钟，6个入场口吃30分钟。
（2）常见的“牛吃草”；入场口“吃”人；水池排水；资源开采等。
2.套公式：把N、T代入公式，y=（N-x）*T。
3.解方程：先约分再计算。
能约分先约分，能够节省时间。
【例3】（2019-联考）某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。
若使用1台挖沙机300天可完成清淤工作，使用2台挖沙机100天可完成清淤工作。
为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？A.4B.5C.6D.7【解析】例3.这是2019年联考的题目，是刚刚过去的420考试。
1台挖沙机300天，相当于1头牛吃300天，2台挖沙机100天，相当于2头牛吃100天，牛吃草问题，套入公式，y=（N-x）*T，代入数据：y=（1-x）*300①；y=（2-x）*100②，①＝②，3-3x=2-x，解得x=0.5，代回①或者②，解得y=150。
上级部门要求工程队25天内完成河道的全部清淤工作，则150=（N-0.5）*25，解得N=6.5，题目问至少有多少台挖沙机，最小是6.5，实际N要≥6.5，应为7，对应D项。
【选D】【例4】（2017-河北）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。
现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。
现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？A.10小时B.9小时C.8小时D.7小时【解析】例4.5台抽水机40小时可以抽完、10台抽水机15小时可以抽完，类似5头牛40小时吃完、10头牛15小时吃完，牛吃草问题，套入公式，y=（N-x）*T，代入数据，y=（5-x）*40①；y=（10-x）*15②，联立①②，①=②，解得x=2，y=120。
120=（N-2）*T，现在用14台抽水机，120=（14-2）*T，解得T=10，对应A项。
【选A】【小结】三步走：1.判别：特征：“N（‘牛’数）+T（时间）”形式的排比句，常见“牛吃草”；入场口“吃”人、水池排水、资源开采等。
2.套公式：把N、T代入公式，y=（N-x）*T。
3.解方程：先约分再计算。
可持续发展型牛吃草问题【例5】（2011-北京）假设某地森林资源的增长速度是一定的，且不受到自然灾害等影响，那么若每年开采110万立方米，则可开采90年，若每年开采90万立方米，则可开采210年。
为了使这片森林可持续开发，则每年最多开采多少万立方米？A.30B.50C.60D.75【解析】例5.若每年开采110万立方米，则可开采90年，若每年开采90万立方米，则可开采210年，类似牛的数量和时间，牛的数量N+时间T的排比句式，牛吃草问题，套入公式，y=（N-x）*T。
代入数据，y=（110-x）*90①；y=（90-x）*210②，①=②，解得x=75，y=3150。
为了使这片森林可持续开发，可持续开发指的是一直开发下去，永远“吃不完”，问每年最多开采多少万立方米，x指的是草长的速度，y指的是原有草量，草就是森林资源，x=75，说明每年长75份的森林资源（用份来表示单位万立方米），原有草量为y=3150，每年吃75份，说明原有的草量会一直保存，如果每年吃76份，每年倒吃一份，说明总有一天会吃完，此时最多吃75份，对应D项。
【选D】【注意】可持续发展型牛吃草问题，N最大为x。
【答案汇总】1-5：BDDAD【例6】（2013-国考）某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。
如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）A.25B.30C.35D.40【解析】例6.“可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月”，相当于80头牛吃6个月、60头牛吃10个月，是“牛数+时间”的排比式，属于牛吃草问题，套公式y=（N-x）*T，列方程：y=（80-x）*6，y=（60-x）*10，“如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采”，说明永远吃不完，属于可持续发展型，此时N最大为x，解方程，x=30，y=300，本题和y无关，可以不求y，解出x即可，“连续开采”，说明中间不能断开，对应B项。