∫ ∫
x
0 x
v y
px
dx +
y=0
∫
y
0
v dy + c x x
px
0
e dx
∫
y
0
pe
sin y dy + c (cos y 1) + c
1 = ( e px 1) + pe p
px
1 解: u = ( e px 1 ) + pe px (cos y 1 ) + c p 1 1 px px = ( p ) e + pe cos y + c , p p 当 p = ± 1时 u = pe f ( z ) = u + iv = pe
2
7.沿指定曲线的正向计算 下列各积分: ez 1) ∫C z 2 dz , C : z 2 = 1; 解:根据柯西积分公式
∫
C
f (z) dz = 2πif ( z 0 )得 z z0
ez dz = 2πi e z = 2πie 2 ∫C z 2 z = z0 = 2 1 2) 2 ∫C z a 2 dz , C : z a = a; 解:因 a > 0, 被积函数的奇点 : z = a在 C 内, z = a在 C 外,根据柯西积分公式 得
∫
C
it 2π 2e 2π z it dz = ∫ 2ie dt =∫ 2idt =4πi 0 0 z 2
2)C为正向圆周z = 4.由柯西积分公式: f ( z) ∫C z z0 dz = 2πi f ( z0 ) 得∫
C
z z zz 4 dz =∫ dz =∫ dz =∫ dz =8πi z =4 z z z =4 z z z =4 z z
7.沿指定曲线的正向计算下列各积分: sin z 9) ∫C π 2 dz,C : z = 2; z 2 2 包含C内的复平面内解析,根据柯西积分的高阶 f ( z) 2πi ( n ) dz = f ( z0 ),n = 1,2, 导数公式∫ n +1 C (z z ) n! 0 2πi d sin z dz = 得∫ 2 C 1! dz π z 2 sin z
2 2
p = 1,即 p = ±1时v为调和函数.
2
v v px px 解: = pe sin y , = e cos y x y ( x, y ) u ( x, y ) v u v u = ∫ dx + dy + c = ∫ dx dy + c (0,0 ) x (0,0 ) y y x ( x ,0 ) v ( x, y )v v v = ∫ dx dy + ∫ dx dy + c (0,0 ) y ( x ,0 ) y x x = =
C
β
α
1 t 2 dt + i 1 tdt = 1 + 5 i ∫0 ( x + iy)dz =∫0 (t + it )(1 + i)dt=(1 + i)∫0 ∫0 6 6 x = t 2 2)曲线y = x 的参数方程为 0 , ≤ t ≤ 1, 或z = t + it 2 , 0 ≤ t ≤ 1, 2 y = t 1+i 1 1 5 2 2 得dz = (1 + 2it )dt.得∫ ( x + iy)dz =∫ (t + it )(1 + 2it )dt = + i 0 0 6 6
∫
C
f (z) dz = 2πif ( z 0 ),得 z z0
3 4 3 4 ∫C z + 1 + z + 2i dz = ∫C z + 1 dz + ∫C z + 2i dz = 2πi 4 z = z = 1 + 2πi 3 z = z = 2 i = 14πi
0 0
ez 5) ∫C (z a )3 dz, 其中a为 a ≠ 1的任何复数, C : z = 1为正向. 解:被积函数的奇点为a, 1 ( )当 a < 1时,奇点在C内,且e z 在复平面内解析,由 f ( z) 2πi ( n ) 柯西积分的高阶导数公式∫ f ( z0 ), 得 dz = n +1 C ( n! z z0 ) ez 2πi d 2 e z ∫C (z a )3 dz = 2! dz 2 = πie
1)u = ( x y)( x + 4 xy + y )
2 2
(2 解: )不定积分法 u u 2 2 = 3x + 6 xy 3 y , = 3x 2 6 xy 3 y 2 x y u u f ' ( z) = i = 3x 2 + 6 xy 3 y 2 i(3x 2 6 xy 3 y 2 ) x y = 3( z iy) 2 + 6( z iy) y 3 y 2 i[3( z iy) 2 6( z iy) y 3 y 2 ] = 3(1 i) z 2 = U ( z) 积分得f ( z) = ∫ U ( z)dx + c = (1 i) z + c,
2 1 2
1+i
5.计算积分∫
C
z dz的值, 其中C为正向圆周:z = 2;2) z = 4. 1) z
β
解: C为正向圆周z = 2的参数方程:z = 2eit, ≤ t ≤ 2π ). 1 ) (0 由公式: f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ' (t )dt,得 ∫
C
α
∫
C
1 1 ( z + a) 1 dz = ∫ dz = 2iπ 2 2 C z a za z+a
=
z = z0 = a
πi
a
7.沿指定曲线的正向计算 下列各积分: 1 5) 2 ∫C ( z 1)( z 3 1) dz,C : z = r < 1; 1 3 解:被积函数的奇点 : z = ±i,1, ± i 在C外, 2 2 被积函数在 C内和 C上解析,根据柯西-古 萨 1 基本定理得 ∫ 2 dz = 0 3 C ( z 1)( z 1) 6) z 3 cos zdz,C为包围 z = 0的闭曲使 v为调和
px
函数,并求出解析函数 f ( z ) = u + iv. v v px px 解: = pe sin y , = e cos y x y v v 2 px px 2 = p e sin y , = e sin y 2 x y
2 2
v v 2 px px 2 + 2 = p e sin y e sin y = 0 x y
3
因为u不含常数,所以 是任意常纯虚数. c
1 ) u = ( x y )( x 2 + 4 xy + y 2 ) 解: 3 ) 线积分法 ( u u 2 2 = 3 x + 6 xy 3 y , = 3 x 2 6 xy 3 y 2 x y (x,y) v (x,y) v u u v = ∫ dx + dy + c = ∫ dx + dy + c (0 ,0 ) x (0 ,0 ) y y x ( x ,0 ) (x,y) u u u u = ∫ dx + dy + ∫ dx + dy + c (0 ,0 ) ( x ,0 ) y x y x = =
第三章作业题
2.分别沿y=x与y=x2算出积分∫01+i(x2+iy)dz的值.
x = t 解: 1)曲线y = x的参数方程为 , ≤ t ≤ 1, 或z = t + it, 0 ≤ t ≤ 1, 0 y = t 得dz = (1 + i)dt.由复积分公式: ∫ f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ' (t )dt,得
30 .由下列已知调和函数求 1) u = ( x y )( x 2 + 4 xy + y 2 )
解析函数 f ( z ) = u + iv .
(1 解: ) 偏积分法 u u 2 2 = 3 x + 6 xy 3 y , = 3 x 2 6 xy 3 y 2 x y v u v = ∫ dy = ∫ dy = 3 x 2 y + 3 xy 2 y 3 + g ( x ) y x u v 2 2 = 3 x 6 xy 3 y = = [ 6 xy + 3 y 2 + g ' ( x )] y x 得 g ' ( x ) = 3 x 2,积分得 g ( x ) = g ' ( x )dx = x 3 + c ∫ 于是 v = 3 x 2 y + 3 xy 2 y 3 x 3 + c ,从而 f ( z ) = u + iv = (1 i ) z 3 + ic , ( c 是任意实常数).
z = z0 =
解:被积函数的奇点: z = z0 =
π
在C内, 且 sin z在
π
2
= 2πicos z z = z
0=
π
2
=0
8.计算下列各题. 4) z sin zdz ∫
0 1
解:因被积函数z sin z在复平面为解析函数, 故z sin z有原函数,于是利用分部积分和牛 顿-莱布尼兹公式,得 z cos z 1 1 cos zdz ∫0 z sin zdz = ∫z =z0d cos z = ∫0 0
z
dz = ∫ ( z i )d (e )
z =0 z i i z 0 z =0
i
z
= ( z i )(e ) ∫ (e )d ( z i ) = i + ∫ e dz = i + (e ) = i e + 1