第四章 静定结构的位移计算
§4-1 概述 §4-2 外力虚功与虚变形功 §4-3 虚功原理 §4-4 虚位移原理与单位位移法 §4-5 虚力原理、单位荷载法 §4-6 杆件结构的位移计算公式
及荷载作用下的位移计算 §4-7 图乘法 §4-8 支座移动、温度改变时的位移计算 §4-9 互等定理
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§4-1 概 述
一、工程结构在荷载、温度变化、支座移动等因素下，结 构的形状一般会发生变化——变形（或形变），结构 的截面位置一般会发生改变——位移（线位移和角位 移）。
荷载作用
温度变化
支座移动
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相对位移
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
（3）刚体虚功原理：
或
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
（虚拟）
静力平衡系
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
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2.力偶虚功：
静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
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3.均布力虚功：
静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
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4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
平衡力系在刚体位移上的虚功=？
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四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析：
微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
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第i杆件的虚功：
平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边 界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
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例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移 动 ，中间铰C的竖向位移 。 解：
1.建立静力状态k：
2.建立虚功方程：
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§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
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二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
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例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
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取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程 （3）
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2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
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2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程 （3）
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例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E2100kN/cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP , FNk
静力状态k；
（2）虚设单位位移
，
得位移状态m；
（3）虚功方程：
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2.求截面E的弯矩
：
（1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态；
（2）沿 正向给单位虚位移 得m状态；
（3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当
有任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚 功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
位移协调系 （真实）
静力平衡系 （虚拟）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
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虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协 调系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形 体系各微段外力在变形位移上虚功和。即：
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以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量： 微段外力满足平衡条件：
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位移协调系m：
各点的位移分量：
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按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
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按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功： 各截面内力虚功总和为零。 显然有：
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虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。
（2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。
（3）列表计算 （4）计算
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§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
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位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
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例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。
解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
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2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
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三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功