不定积分和微分-J、公式 一 f (x)dx f (x)和 f /(x)dx —f (x)dxdxdx注意：f(x)的不定积分为F(x) c F(x)是f (x)的原函数 f (x)是F(x)的导数, 即f(x)dx F (x) c 或 F ，(x) f (x)1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，禾U 用两边求导处理已知 f( (x))dx F(x) c ,求 f(x)2 2f (x)dx x c ，求 xf (1 x )dx2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知 F ，( (x)) f(x)，求 F(x)方法：令(x) t ,则 x 1(t)，即 F ，(t) f( /(t))，故 F(x) f( /(t))dt/ 2 2方法：求导得f ( (x)) F /(x)，令(x) t ,则x1(t)，即 f(x)/ 1F ((x))f (x) c 的应用解：对 f (x)dxx 2 c 求导得 f(x) 2x , f (1x 2) 2x 22则 xf (1 x )dxx(2 2x 2)dx x 2咚 c(2) xf (x)dxdxarcsinx c ，求 ---------f(x)解：对 xf (x)dx arcsinx c 两边求导得xf (x)_1_一1一X 2，即 f(x) _1_ X 2dxx 1m 21 x 2d(1"I3x 2)2 c例 2 (1) f (sin x) tan x ,求f (x)・2222sin x 解：令 sin x t ，贝y cos t 1 t ， tan x — cos x(2)已知 f /( x) x[ f /(x)1]，求 f (x)解：令In x t 得x即f /(t)&两边积分的f(t)&dt tIn |t解：令 x t ，则上式为f '(t) t[f /( t) 1]，即f /(x)x[f /( x) 1]由上面两式得f /(x) 两边积分得f(x)2x x 2 12x~~2~xIn (x 2 1) c(3 )设 f (u)在内可导，且 f(0)f (In x)，求 f(u)f /(t)0 e t e t 1即 f /(t)1te 2当 t 0 时，fit)两边积分得f(t)dtC 1当 t 0 时，f /(t) te 2，两边积分得 f(t)te^dt t2e 2 C 2又因为设f(t)在内可导，所以 f(t)在内连续t而 lim f (t) lim (2e 2 t 0t 0C 2)2 c 2, lim t 0f(t)阿(tx2(4 )设 y f(x)在x 处的改变量为-x o( x) ( x x0)，y(0)1，求y /(1) 解：由 y x o(x)即巴_dxy 1两边积分得 dy ydx 1 xInln(1 x)而 y(0) 10，即/(1)(5)设 f (x) sin t dt ， t 0 f(x)dx解： f (x)dx 0xf ( x) |0xf /(x)dxxsin x , dx 0 x「sinxdx二、已知F(x)是f (x)的原函数F /(x)f(x)f (x)dx F(x)，求被积函数中含有 f ( c(x))的积分 1、由f(x) F /(x)求出f(x)，代入积分计算 2、把积分转化为 f( (x))d( (x))的形式，利用 f (x)dx F (x) c 求值 sin x例3( 1) 是f (x)的原函数，a xsin x 解：因为是f(x)的原函数，所以x f(ax) _ axt 1 dx 2a a0,求 f(x)dx f (ax) dx a sin xc x Si nt f (t)dt 2 a t (2)e x 是 f(x)的原函数，求 x 2 f (Inx)dxsin ax c— a x解：因为 f(x) (e x )/ e x ，所以 f (In x)2x 贝U x f (ln x)dx xdxc2三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有 f( (x))的积分1、由f(x)求f( (x))，再把f( (x))的表达式代入积分计算2、由f (x)先求 f (x)dx ，把含有f( (x))的积分转化为f( (x))d (x)的形式处理例 4 ( 1) f (sin 2 x) ，求 一^=^ f (x)dxsin x <1 x解：在 ' f (x)dx 中，令x sin t 得 V1 xsi nt 2 2 22 f (sin t)d (sin t) 2 sin t .1 sin 212t cost 2sint cIn x 即(x)/2 x 2xf (x)dx xd[ f (x)] xf (x) f (x)dx 2x e e(x)dx2ln |x1| c(3)(e")/f (x)， f /(x)连续，求xf / (x)dx x 2/解：因为(e ) f (x)，所以f (x)x 22xe x ，f (x)dxx 2去f(x )dxf (sin 2t)dt2 tsintdt 2 td(cost) 2t cost costdt因为 sin t 、x , cost T x , t arcs in . x":x所以 -------- f (x)dxV1 x2 1 x arcs in 、x 2 x(2)f(x 21) In2x —2，且 f[ (x)] ln x 求x 22(x)dx解：令x 2t ,则 f(t) In H ，而f[ (x)]In xx 2x /(4) f (x) xe ，求 f (x) In xdx 解: f /(x) ln xdx ln xd[ f (x)] f (x)lnx(5) 解: (6)xe x In xe x dx xe x In xIn f (x) cosx ，求xfMx f(x)xd[ln xcosxf(x)x 2si nt1 解：因为 f(x) 10xf (x)dxf (x)] xln f(x) ln f (x)dxcosxdx xcosx sinx1t dt ，求 Q xf (x)dx x 2sin t1，f(x)dx 21 12 2 sin x dx 2 0 四、利用凑微分法求积分 注意：f /[g(x)] g /(x)dx 例 5 (1) f (0) 1 , f (2) 解：1xf 〃(2x)dx^14f /(2) 2(2)设f (x)二阶可导,所以f /(x). 2sin x 2 2x x 2sin x 2x 2 f (x) ,1 "^|01 2 cosx 2 |0x 2f /(x)dxxs in x 2dxcos 1 2 f /[g(x)] d[g(x)] d[f(g(x ))]3， f (2) 5，求 1 〃 °xf 〃(2x)dx 2// 1 2 /tf (t)dt - 0td[f (t)]f (2) f (0)24tf /(t)|2h |02/ 0f(t )dtf /(b) a ， f /(a) b ，a f /(x)f //(x)dx设 o [ f (x)f〃(x)]sinxdx 5， f ( ) 2，求 f(0)f (0) f ( )0 f (x)sin xdxf (x)，且 f (x) F(x) g(x)，求 f(x)F(x) 0，求 f (x)解：因为F(x)是f (x)的原函数，所以 F ，(x)F 2 (x) 而F ，(x)F(x)dx F(x)d[F(x)]2(2)f (x)连续，且当xx1 时，f(x)[0f(t)dtxxe 1]2，求f (x)2(1 x)2解: b / //a f (x)f (x)dxba f (x)d[f (x)]/ 2 2 2[f (x)] |b a b|a2解:0 f〃 (x)sin xdx osin xd[ f /(x)]f / (x)cosxdx因为°[f(x )f" (x)] sin xdx 5，所以f(0) f()5 而 f( )2，故 f(0)方法：两边积分 F /(x)F(x)dx g(x)dx ，得F 2(x)g(x)dx ，求 f (x)例6 ( 1) F (x)是f (x)的原函数，且x0时，有 2f (x) F (x) sin 2x ，又 F(0)1，故F 2(x) x 沁4又 F(0)1 得c 1而 F(x) 0 ,所以 F(x)x sin4x1 f(x)41 cos 4x • 4x sin 4x 4(3) 0 cosxd[f (x)]五、已知F ，(x)f(x)，2由于 f(x) F(x) sin 22x 故 F ，(x) F(x)sin 2 2x ，两边积分得F /(x)F(x)dx sin 22xdx - 2 dx -cos 4xdx -2 2sin 4x 8C iC 2解：令g(x) o f (t)dt，g/(x) f (x)，由于f(x)[ x0 f(t)dt1]xxe2(1 x)2g/(x)[g(x) 1]xxe 2(1两边积分得g/(x)[g(x) 1]dxxxe 」2dx2(1 x)2[g(x) 1]d[g(x) 1]xxe .2dx2(1 x)2-dxx[g(x) 1]2十因为g(x)xf(t)dt令x 0得g(0) 0，代入上式故g(x) 1，f/(x)2(1x e x(3)已知f (x)为非负连续函数，且x0时, xf(x)f(x t)dt(12 dxx3，求f (x)x 令x-t 提示：因为°f(x)f(x t)dt uf(x)xf(u)du，令g(x)xo f (u)du 处理六、变上限积分的导数运算b注意：(1)如F(x) f (t)dt,x [a,b]，则F(x) b f (t)dt，则F/(x) f(x)⑵如F (x) (x) f (t)dt，则由复合函数的求导法则有⑶如F (x)-J -J..F/(x) —F(u) — f(u) /(x) f[ (x)]dx dx(x)f (t)dt，可得成F(x)(x)/(x)F/(x) f[ (x)] 例7( 1 )已知f (x)满足xf(x) 1c(x)f(t)dt(x) f(t)dt，则/(x) f[ (x)] /(x)x2t f (t)dt，求f(x)解：两边求导得 f(x) xflx) x 2f(x) 即d[ f (x)](x 1)dx f (x) x两边积分得In f (x)卄/sin x 、 小即f(x) (2flx)) 02 cosx因为f (x)是不恒等于零的连续函数，故f /(x)1sin x1两边积分得 f(x)dx —ln(2 cosx) c2 2 cosx 22xsin t 在f 2(x)f (t) dt 中令x 0,得f(0) 0代入上式有c 0 2 cost 1 1 故 f (x) In(2 cosx) In 3 2 2注意:(1 )上题要充分利用已知条件确定初始条件 f(0) 0(2 )定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导例8( 1)已知f (x)连续， x10tf (2x t)dt -2 arctanx ， f(1)21 求 f(x)dx1解:令2x tu ，则xtf (2x 0t)dtx2x (2x u)f(u)du2x2x x f (u)du2xx uf(u)du(2 )求一个不恒等于零的连续函数 f (x)，使它满足f 2(x) sin t 2 costdt解：两边求导得2f(x)f /(x) f(x)sin x 2 cosxsin x 4 2 cosxIn x c ,所以 f (x)2x即2xx f (u)du 2x1 2uf (u)du arctanxx 223所以 1f(x)dx4故 y / /x 0 e 1注意：此题确定y 的方法d x f (x )(5 )设f(x)为已知可导奇函数，g(x)为f (x)的反函数，贝yxg(tdx xx f(x)f(x)解：令 t x u ，则 x xg(t x)dt x 0 g(u)dud x f (x)f (x) /两边求导得：2 2xx f(u)duxf(x)因为f (1)1，上式中令x 1 x 421 f(u)du f(1)(2 )求可导数f(x)，使它满足10f (tx)dt f (x) xsinx1解：令 tx u ，贝U 0 f (tx)dt f (u)duxf (x) xsinx ，所以 o f (u)duxf (x) x 2 sinx两边求导得fix) 2sinx xcosx两边积分得f(x)2 sin xdxxcosxdx cosx xsinx c(3) 由方程yt 2e 01 ( x 0)确定y 是x 的函数，求解:x 求导得y / 2sinx 2―dy2sin x 2，故 d ；h(4)y(x)是由x y x t 2 e t dt10确定的函数，求y //x 解:x 求导得 1 e (y x ^(y / 1)0故y /e (yx)21y x +22e dt 0中令x 0时，有yt 2e 1dt 0，即 yx)dtdt所以x xg(t x)dt 0g(u)du xf (x) g[ f(x)] dx x 012当 x 1 时， f (x) dx 2xdx x C 22xx c x221 xc x2令 h(x)f (x) /g(u)du ，则 h (x)f /(x) g[ f(x)] xf /(x)两边积分得 h(x) xf /(x)dx xf (x) f (x)dxd x f (x )2 /故xg(t x)dt xf (x) x 2 f /(x)dx xf(x)dx(6)设函数f(x)可导，且f (0)0 , g(x)xtm 0f(x n t n )dt ，求 1丿叫弩解：令X” t u ，则 g(x) xn 1 n0t f (xt n )dtx n0 f(u)du由于g /(x)n 1 n 、x f (x ) lim^°2nx 1 limQ2n x 0 x1 lim 2n x 0f(x n ) f(0)f /(0) 2n七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在相应区间的原函数 F(x)，然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。