北师大初中数学
九年级
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练
运用解决问题；(重点)
2．培养学生观察、分析及理解问题的
能力，经历猜想、推理、验证等环节，获
得正确的学习方式．(难点)
一、情境导入
你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球
吗？
如图②所示，甲队员在圆心O处，乙
队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到
圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为
什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
二、合作探究
探究点一：圆周角和直径的关系
【类型一】利用直径所对的圆周角是
直角求角的度数
如图，BD是⊙O的直径，∠
CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30°B．45°
C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD
＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一
般要找直径所对的圆周角，构造直角三角
形解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习
“课堂达标训练”第3题
【类型二】作辅助线构造直角三角形
解决问题
如图，点A、B、D、E在⊙O
上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB
是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB、AC之间的大小关系，
并给出证明；
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正
三角形时，点E是否为AC的中点？为什
么？
解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理
求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分
线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理
求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质
求解．
解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分
BC，∴AB＝AC；
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC
的中点．理由如下：连接BE，∵AB为
⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即
BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝
EC，即E是AC的中点．
方法总结：在解决圆的问题时，如果
有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对
的圆周角．
变式训练：见《学练优》本课时练习
“课堂达标训练”第6题
探究点二：圆内接四边形
【类型一】圆内接四边形性质的运用
如图，四边形ABCD内接于
⊙O ，点E 是CB 的延长线上一点，∠EBA ＝125°，则∠D ＝( )
A ．65°
B ．120°
C ．125°
D ．
130°
解析：∵∠EBA ＝125°，∴∠ABC ＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝180°－55°＝125°.故选C.
方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】 圆内接四边形与圆周角的综合
如图，在⊙O 的内接四边形
ABCD 中，∠BOD ＝120°，那么∠BCD 是( )
A ．120°
B ．100°
C ．80°
D ．60°
解析：∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝60°，∴∠C ＝180°－60°＝120°，故选A.
方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 圆内接四边形与垂径定理的综合
如图，AB 为⊙O 的直径，CF ⊥
AB 于E ，交⊙O 于D ，AF 交⊙O 于G .求证：∠FGD ＝∠ADC
.
解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD ＝∠ACD ，然后根据垂径定理推知AB 是CD 的垂直平分线，则∠ADC ＝∠ACD .故∠FGD ＝∠ADC .
证明：∵四边形ACDG 内接于⊙O ，∴∠FGD ＝∠ACD .又∵AB 为⊙O 的直径，CF ⊥AB 于E ，∴AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠FGD ＝∠ADC .
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合
如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为的中
BD ︵ 点，AC 、BD 交于点E .
(1)求证：△CBE ∽△CAB ；
(2)若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．
解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．
(1)证明：∵点C 为的中点，∴∠
BD ︵ DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；
(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△
CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的
中位线，则OF ＝AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF
1
2
＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .
在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝＝＝.
AD AB 3a 5a 3
5
方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．
三、板书设计
圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．圆周角和直径的关系
2．圆内接四边形的概念和性质
本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气
氛，收到了很好的教学效果
.
相信自己，就能走向成功的
第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待
人生。