第八讲 二元一次方程组
一、知识梳理
（一）二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解
（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法
二、典例剖析
专题一：代入消元法：
1、直接代入 例1 解方程组⎩⎨
⎧=--=.
134,32y x x y
跟踪训练： ⎩⎨
⎧-==+738
25x y y x
2、变形代入
例2 解方程组⎩⎨⎧=+=-.
1043,95y x y x
跟踪训练： ⎩⎨⎧-=--=-.2354,
42y x y x
小结：代入消元法的方法（步骤）：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值，写出方程组的解.
专题二：加减消元法 例3、解方程组（1）⎩⎨
⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）⎩⎨
⎧=+=+.
1034,
1353y x y x
跟踪训练：（1） （2）
注意：
⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好. [变式练习]选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23
)3(5)4(44
)3()4(2y x y x
专题三：有关二元一次方程组以及解的问题： 例4、（1）已知方程2
m -1
n -8(m-2)x +(n+3)y =5是二元一次方程，求m,n 的值。
（2） 求方程x+2y=5在自然数围的解。
⎩⎨
⎧=+=-10
237
24y x y x
[变式练习]（1）若方程(2m －6)x |n |－1
+(n +2)y 82
-m =1是二元一次方程，
则m =_______，n =__________．
（2）二元一次方程3a +b =9在正整数围的解的个数是_________.
（3）已知(3x －2y +1)2
与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________
专题四：字母系数的二元一次方程组
例5：（1）已知关于x,y 的方程组x+y=5m
x-y=9m ⎧⎨⎩
的解满足2x-3y=9，求m 的值。
（2）的值。
求有相同的解与方程组若方程组b a by ax y x y x by ax ,,10
22
4352123⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=-
（3）若方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223
23m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。
[变式练习]解关于x ，y 的方程组32165410x y k
x y k +=⎧⎨-=-⎩
，并当解满足方程4x －3y ＝21时的k 值．
例6．已知关于x ，y 的方程组21(1)22(1)3
(2)
ax y a
x a y +=+⎧⎨
+-=⎩，分别求出当a 为何值时，方程
组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．
跟踪练习.（1）当a 为何值时，方程组21
33ax y x y +=⎧⎨+=⎩
有唯一的解 ？有无穷多解？
家庭作业
一、解方程组 １．)(1244用代入法解⎩⎨⎧-=+=-y x y x ２．⎩⎨
⎧-=-=-8
2540
76y x x y
3．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.73
2,143n m n
m 4. 1- = 7625(x+y) - 2(x-y) - 1 = 0x y x y -+⎧⎪
⎨⎪⎩
二、选择题、填空题：
1. 已知⎩⎨
⎧=++=+m
y x m y x 323
53且x 、y 之和为12，则m 等于（ ）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25 2. 方程72=+y x 在自然数围的解（ ）
A. 有无数对
B. 只有1对
C. 只有3对
D. 以上都不对 3. 如果5=-y x 且5=-z y 那么x z -的值是（ ）
A. 5
B. 10
C. －5
D. －10
4. 当___
___x y =⎧⎨
=⎩ 时，代数式26-+y x 与53+-y x 的和与差都是9。
5. 已知14
252
2=+=+y x y x ，则
=
+-++7
3212y x y x ________。
6. 已知二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+7
318
85y x y x ，则=+y x 92________ 。
7. 已知⎩⎨
⎧==3
4
y x 是关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=--=+21by x y ax 的解，则a+b= 。
8. 求出方程3x+y=9在正整数围的解是 。
9. 已知⎩
⎨⎧=+-=--030
334z y x z y x 并且0≠z ，则x:z= ，y:z= 。
10. 若关于x 、y 的方程组⎩⎨
⎧-=-=+k
y x k
y x 95432的解x 、y 的和等于5，求k 。
11. 二元一次方程组⎩
⎨⎧=-+=+3)1(1
34y k kx y x 的解中，x 、y 的值相等，求k ，并写出这个方程的整
数解。
12. 已知方程组⎩
⎨⎧=++=+-0620
34z y x z y x ，且xyz ≠0,求x:y:z 的比。
13. 若0543
1
)2(2
=-+-c b c a ，则=c b a ::___________ 。
14．已知方程组⎪⎩⎪
⎨⎧
=--=+10
23215y x a y ax 的解也是方程4049=+y x 的解，则a=_______.
15. 若p 为整数，那么当p=__________时，⎩
⎨⎧=-=+024
2y x py x 的解为正整数。