实验一 数值运算的误差分析
1.问题的提出
任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。

首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。

1)模型误差：
实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差：
数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。

3)截断误差：
通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。

例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式
n
n n x n f x f x f f x p !
)0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++=
近似代替，则数值方法的截断误差是：
εε(,)!
1()()()()(1
)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R
4)舍入误差：
最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。

例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。

2.误差与有效数字
1)绝对误差： 2)相对误差：
3)有效数字：
若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示
()()
1121*101010---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，
其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且
1*102
1
+-⨯≤
-n m x x
例如：
若*x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为：)1(1
*1021
--⨯≤
n r a ε 例一：要是20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？ 设取n 位有效数字，由定理1，)1(1
*1021
--⨯≤
n r a ε。

由于 4.420=，知1a =4，故只要取4=n ，就有1.01010125.033*
=<⨯≤--r ε%，
即只要对20的近似值取4 位有效数字，其相对误差限就小于0.1%，此时由开
4.472≈。

4)误差的积累运算：
≈±)(*2*1x x ε)(*1x ε+)(*
2x ε； ≈)(*2*1x x ε*2*2*1
)(x x x +ε)(*
1x ε； ≈
)/(*
2*1x x ε2
*2
*
1*2*2*1)
()(x
x x x x εε+；
5)函数的误差：
设)(x f 是一元函数，x 的近似值为*x 以)(*x f 近似)(x f ,其误差记作
)((*x f ε;那么函数的误差是：)()())((***x x f x f εε'≈
当f 多元函数时，例如计算A ),,(1n x x f =。

如果 n x x ,,1 的近似值为 *
*1,,n x x 则A 的近似值为 ),,(**1*n x x f A =，
于是由泰勒展开得函数值*A 的误差为)(*A e ; 于是函数的误差限：)()(
)*(*
1
*k n
k k
x x f A εε∑=∂∂≈；
（2） 而*
A 相对误差限为：*
*1****)()()*(A x x f A A A k
n
k k
r r
εεεε∑=∂∂≈==）
（（3） 例二：已测得某场地长l 的值为m l 110*=，宽d 的值为m d 80*=,已知
m l l 2.0*≤-,m d d 1.0*≤-,试求面积 ld s =的绝对误差限与相对误差限。

解：因ld s =，
d l s =∂∂，l d
s =∂∂，由（3）知 )()()()(
)*(****d d
s
l l s s εεε∂∂+∂∂≈，其中m d l s 80)(**==∂∂，
m l d s 110*==∂∂， 而m l 2.0)(*=ε，m d 1.0)(*=ε 于是
绝对误差限为 m s 27)1.0(110)2.0(80)(*=⨯+⨯≈ε， 相对误差限为
%31.08800
27
)
()
()(*
***
**
=≈
=
=
d l s s s s r εεε 6)避免误差危害的若干原则 ● 避免接近零数作除数。

例如：2
12
12
12
1)1())1((1x x x x ++=-+
顺便指出，有时为避免中间结果益出也要变换公式， 例如: y x ≥,21
22
12
2
))(1()(x y x y x +=+
● 避免相近数相减。

例如：)
)1((1)1(1212121x x x x ++=-+
再如求01562=++x x 的根，取五位数字
982.55982.2728)128(282121=+=-+=x 018.0982.2728)128(282122=-=--=x 2x 的有效数字就少了。

可用01786288
.0972
.551
1
1
2===x x 试比准确解：017862840.0,982137159.5521==x x ; ● 防止大数‘吃’小数。

例如：1.0010010=+++=a a a a x ，0001.010021====a a a 如果按先后次序10a a +得0.1，再加2a 还是0.1， 1=x
如果从后往前加， ,0002
.00001.00001.0=+最后11.001.01.0=+=x ; ● 减少计算步聚。

例如：计算多项式的值
x
x x x ++-+11
1为
x
x
x x cos 1sin sin cos 1+-为
43223140a x a x a x a x a ++++宜用43210)))(((a x a x a x a x a ++++
这就是最著名ＦＦＴ算法数值例。

注意递推公式。

有些公式计算时误差不断积累越来越大，有些公式误差则不会增加前者称数值不稳定的应避免使用，后者称数值稳定的，我们应该采用着类公式，请看例子。

计算出 ,1,0,1,6321.01110=-=≈-=--n nI I e I n n 可算出728.08-≈I 误差大的惊人，竟出现了负数。

但若用 ,8,9,/)1(,0684.019=-=≈-n n I I I n n 算出0I 有四位有效数字。

不难看出前一算法所得8I 的误差是0I 的!8倍，而后一算法所得0I 的误差是9I 的!
91 .
参考思考题： 1、 2、 3、
实验一的目的是什么？以后的内容起什么作用？ 在实验一里主要提醒什么？或不叫“实验一”，叫“预备知识”。