1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4TTα=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4TT=-----=-∴1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],TTTT =+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时，11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4TTαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。
(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T Tk αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出.解： 正确。
（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。
例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T Tααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
(5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 11223,k k k βααα=++则表示系数123,,k k k 不全为零。
解：不正确。
例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,TTTβαα===[]31230,0,1,000Tαβααα==++，表示系数全为0。
(6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关. 解：正确。
因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以1212,,,ααββ线性相关。
4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。
(1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0,TTTβαα===[]30,0,1,1Tα=，[]40,0,1,1Tα=--解：显然 131342βααααα=+=+- (2) [][][]121,2,5,1,1,1,1,2,3,TT T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.Tα=解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组 123223323212535x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 211231321121112110541212013301332131502140510r r r r A r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2313235105410065013301033012012r r r r r -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故 1236,3,2,x x x =-==12346320.βαααα∴=-+++(3) [][][]121,2,3,4,1,1,2,2,1,0,0,0,T T Tβαα=== [][]341,2,2,2,2,0,0,0.TTαα=----=解: 设11223344βχαχαχαχα=+++，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：123242111210112110202102022202030020122020400200r r A r r r r --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦4301121102020020100001r r B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因阶梯形矩阵B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。
1234,,,.βαααα∴不能由线性表示(4) [][][]125,2,2,0,1,1,2,3,1,2,3,1,TTTβαα=--==- [][]341,1,1,2,1,4,5,11.TTαα=--=-解： 设11223344βχαχαχαχα=+++ ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 11115100011214201002231520010331211000011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦123412341,2,3,1,23x x x x βαααα∴====-=++-5. 证明： 如果n 维单位坐标向量组12,,,n εεε 可由n 维向量组12,,,n ααα 线性表示，则向量组12,,,n ααα 线性相关。
证：1212,,,,,,n n αααεεε 向量组也可由线性表示,∴向量组12,,,n ααα 与向量组12,,,n εεε 等价，所以向量组12,,,n ααα 的秩为n ，所以线性无关。
6. 若向量组123,,ααα线性无关，证明：向量组112123,,αααααα+++ 也线性无关。
证： 设有常数 123,,,k k k 使112123123123123233123123233()()0()()0,,0,0,0,1111110,.01k k k k k k k k k k k k k k k αααααααααααα+++++=+++++=∴++=+==∆==≠∴ 即线性无关，系数行列式上方程组只有零解1231121230,,,k k k αααααα===+++从而向量组线性无关.7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。
(1) [][]121,2,4,8,1,3,9,27,TTαα=-= [][]341,4,16,64,1,1,1,1.TTαα==--解：以1234,,,αααα为列向量作矩阵[]1234,,,,A αααα=作初等行变换得到： 2112313241421111111105612341145014503491613815002030078276417286500300r r r r A r r r r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然1234()4,,,,R A αααα=∴向量线性无关.(2) [][]122,1,0,3,1,3,2,4,TTαα=-=- [][]343,0,2,1,2,2,4,6.TTαα=-=-解：令 []1234,,,,A αααα=对A 作初等行变换，得到： 34124213213205320340342213021302130202243022430280283416013112013112r r r r A r r r r ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦2131010101013130210011301311200110000r r B r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥→=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故 R(A)=R(B)=3. 1234,,,αααα∴线性相关。
且由4123.αααα=++B可知，(3) [][][]1233,1,2,1,5,7,7,13,20.T T Tααα=-=-=-解： 令[]123,,,A ααα=解方程组AX=0，其中X=[]123,,Tχχχ,对系数矩阵A 作初等行变换得到：132121116322317016320123151315131513227200360121r r r A r r r r --⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦21310125103000r r B r r -⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦由B 得同解方程组[]133233,1,3,2,1,2TX χχχχχ=-==-=取得12331230,32αααααα∴-++==-, 1234,,,αααα∴线性相关。
(4) [][][]1231,2,1,1,1,1,2,1,3,4,5,1.TTTααα==-= 解：令[]123,,,A ααα=对A 作初等行变换得到：21323142411131131132214012012125012000211102202r r r r A r r B r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴R(A)=R(B)=3 , 123,,ααα∴线性无关。
8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。
(1) [][][]1234,1,5,6,1,3,4,7,1,2,1,3,TTTααα=---=---=[]42,1,1,0Tα=-解：令[]1234,,,,A αααα=对A作初等行变换，得到：12324112673067302132113211321541167300000673067300000r r A B r r --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=+-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为2, 12,αα是一个极大无关组。
(2) [][][]1231,0,0,0,3,0,0,0,0,1,0,0,T T Tααα===[]40,0,1,1.Tα= 解：12,αα 线性相关，1234,,,αααα∴线性相关。
而134,,ααα线性无关。
∴向量组的秩是3。
134,,ααα 是一个极大无关组。
(3) [][][][]12341,0,1,2,1,0,0,1,1,1,1,1TTTTαααα==== 解：令[]1234,,,,A αααα=对A 作初等行变换，得到： 3112011201011101111110210A r r B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是3,并且123,,ααα 是向量组的一个极大无关组。