二次函数的表达式、图象、性质及计算（讲义）➢课前预习参考前面学习一次函数、反比例函数过程中画图的方式，尝试列表、描点、连线，画出下列函数对应的图象：观察你所画的函数图象，想一想：①图象是什么形状？与反比例函数、一次函数图象一样吗？②图象是轴对称图形吗？如果是，对称轴分别是什么？③随着x值的变化，y的值怎么变化？➢ 知识点睛1. 一般地，形如__________________（_______________）的函数叫做二次函数． 2. 表达式、图象及性质：①一般式___________________通过_____________可推导出顶点式_____________．②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________．③当a _________时，函数有最_____值，是____________；当a _________时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a _____时，图象以对称轴为界，当x ______时，y 随x 的增大而_______，当x ______时，y 随x 的增大而__________． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当口向____．c 是抛物线与_______交点的______．b 的符号：与a _____________，根据_____________可推导． 3. 二次函数图象平移：①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______．②图象平移口诀：____________、_____________．平移口诀主要针对二次函数_________________．➢ 精讲精练1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号）①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③2132y x =-+；④220x y -+=；⑤2y x =-；⑥215s t t =++；⑦231252y x x =-+；⑧222y x =+．2. 若函数27(3)ay a x -=-为二次函数，则a =（ ） A ．-3B ．3C ．±3D ．53. 二次函数22y kx x =++ ）BC D4.二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则反比例函数ayx=与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）5.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能．．是（）6.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__________________．7.抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线2y x=平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8.抛物线2y x bx c=++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x=-+，则b，c的值为（）A．b=2，c=3B．b=2，c=6C．b=-2，c=-1D．b=-3，c=29.如图，将抛物线2(1)7y x=+-沿x轴平移，若平移后的抛物线经过点P(-2，2)，则平移后的抛物线解析式为（）A．2(5)7y x=+-B．2(5)7y x=+-或2(1)1y x=++C．2(1)1y x=++-7D ．2(5)7y x =+-或2(1)7y x =--10. 抛物线y =2(x+m )2+n （m ，n 是常数）的顶点坐标是_______；2y ax bx c =++的顶点坐标是_____________（用含a ，b ，c 的代数式表示）；2241y x x =-++的顶点坐标是__________，有最______值，是________．11. 已知抛物线2115322y x x =---，将它配成顶点式为________，对称轴是直线______，顶点坐标为__________，当_______时，y 随x 的增大而减小，当x =_________时，y 有最____值，是_________．12. 抛物线2112y x =-开口向_____，对称轴是直线___________，顶点坐标是_____________，当x =_______时，y 有最_____值，是_______．13. （1）已知二次函数的图象经过A (-3，0)，B (1，0)，C (0，3)三点，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为______________________，由题意得：解得：∴二次函数的解析式为______________________．（2）已知二次函数的图象经过A (-4，0)，B (2，0)，C (1，-5)三点，求此二次函数的解析式．14. （1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，求此二次函数的解析式．解：依题意可设这个函数的解析式为__________________， ∵抛物线经过点_____________， ∴_________________________________， 解得：__________________，∴二次函数的解析式为__________________．（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．【参考答案】 ➢ 课前预习①图象是曲线，与反比例函数、一次函数不同； ②图象是轴对称图形，对称轴为y 轴或直线x =4； ③随着x 值的增大，y 的值增大或减小．➢ 知识点睛1. 2y ax bx c =++；a ，b ，c 为常数，a ≠02. ①2y ax bx c =++；配方法；224()24b ac b y a x a a-=++；②抛物线；轴对称；直线2bx a=-；24()24b ac b a a --，； ③＞0；小；244ac b a -；＜0；大；244ac b a -；④＞0；2b x a <-；减小；2ba >-；增大；＜0；2b a <-；增大；2ba>-；减小；⑤a ＞0；上；a ＜0；下y 轴；纵坐标；左同右异；对称轴位置3. ①点的平移；坐标；②左加右减；上加下减；顶点式➢ 精讲精练1. ①③④⑤⑥2. A3. C4. D5. D6. 21027y x x =-+7. B8. B9. D10. (-m ，n )；24()24b ac b a a--，；(1，3)；大；3 11. 21(3)32y x =-+-；x =-3；(-3，-3)；x ＞-3；-3；大；-312. 下；x =0（y 轴）；(0，1)；0；大；113. （1）223y x x =--+；（2）228y x x =+-． 14. （1）23(1)3y x =---；（2）2(1)4y x =+-．二次函数的表达式、图象、性质及计算（习题）➢ 例题示范例：如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A (2，0)，B (0，-1)和C (4，5)三点，求二次函数的解析式．解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A (2，0)，B (0，-1)，C (4，5)，∴42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩， ∴12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴二次函数的解析式为211122y x x =--．➢ 巩固练习1. 已知点(a ，8)在二次函数y =ax 2的图象上，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．2. 若23(2)m y m x -=-是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ）A． B． CD ．0 3. 若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过坐标原点，则m 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定4. 在同一平面直角坐标系中，作函数222y x =+，221y x =--，212y x =的图象，则它们（ ） A ．都关于y 轴对称B ．顶点都在坐标原点C ．都是开口向上的抛物线D ．以上都不对5. 小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面的六个结论：①0a <；②0c =；③函数的最小值为-3；④当0x <时，0y >；⑤当1202x x <<<时，12y y >；⑥对称轴是直线x =2．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6. 用配方法求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标． （1）242435y x x =++； 解：配方： ∴对称轴为直线_______，顶点坐标为_________．（2）221218y x x =-+-．7. 先将一般式化为顶点式，再根据顶点式研究二次函数性质： （1）将函数y =x 2+4x -5化为顶点式：__________________，其顶点坐标为__________，开口方向向_____，当x =_____时，y 有_____值，是______；当x __________时，y 随x 的增大而减小．（2）将函数24y x x =+-化为顶点式：_______________，其顶点坐标为____________，开口方向向_____，当x =_____时，y 有_____值，是______；当x __________时，y 随x 的增大而减小．8. 二次函数图象的顶点坐标是(-2，-3)，且过点(1，9)，求此二次函数的解析式．9. 下列二次函数中，图象以直线x =2为对称轴，且经过点(0，1)的是（ ）A ．2(2)1y x =-+B ．2(2)1y x =++C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3y x =+-10. 抛物线2y ax bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b ，c 的值为（ ）A ．b =2，c =2B ．b =2，c =0C ．b =-2，c =-1D ．b =-3，c =2 11. 抛物线222y x x =+-的图象最低点的坐标是（ ）A ．(2，-2)B ．(1，-2)C ．(1，-3)D ．(-1，-3)12. 用公式法求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标、最值． （1）221213y x x =-+；（2）21212y x x =--． 解：∵2ba-=___________， 244ac b a-=______________， ∴对称轴为直线_________， 顶点坐标为_____________， 当x =_____时，y 有_____值，是__________．13. 借助顶点公式求出顶点（先算顶点横坐标，将顶点横坐标代入算纵坐标），再研究二次函数性质：（1）函数21213y x x =-++，其顶点坐标为______，开口方向向_____，当x =______时，y 有______值，是_______；当x _______时，y 随x 的增大而增大．（2）函数2424y x x =-++，其顶点坐标为______，开口方向向_____，当x =______时，y 有______值，是_______；当x _______时，y 随x 的增大而增大．14. 已知二次函数经过(1，2)，(3，0)，(-2，20)三点，求该二次函数的解析式． 15. 抛物线22y x bx c =-++的顶点坐标是(-1，4)，则b =_____，c =_______． 16. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，0b <，0c >B ．0a <，0b <，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b >，0c > 17. 反比例函数xky =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）ABCD➢ 思考小结1. 从学习框架角度总结二次函数：2. 运用待定系数法确定二次函数表达式要结合具体特征进行适当选择，用合适方法计算下列函数表达式：（1）抛物线经过点A(-1，0)，B(2，-3)，C(0，-3)；（2）抛物线经过顶点A(1，2)和点B(0，3)．3.举例说明生活中存在哪些例子可以用二次函数进行刻画？1【参考答案】➢ 巩固练习1.A 2.B 3.C 4.A 5.D 6. （1）过程略，24(3)1y x =+-，x =-3，(-3，-1)（2）过程略，22(3)y x =--，对称轴直线x =3， 顶点坐标(3，0)7. （1）y =(x +2)2-9，(-2，-9)，上，-2，最小，-9，＜-2（2）2117()24y x =--+，(11724，)，下，12，最大，174，＞128. 24(2)33y x =+- 9. C10. B11. D12. （1）3，-5，x =3，(3，-5)，3，最小，-5．（2）过程略，对称轴为直线x =2，顶点坐标(2，-3)， 最小值-3．13. （1）(3，4)，下，3，最大，4，＜3（2）(1，2)，上，1，最小，2，＞114. y =x 2-5x +615. -4，216. D17. D➢ 思考小结1. 向上；向下 直线2b x a=-，直线x =h ， 减小，增大，增大，减小2b x a =-大（小） 244ac b a - h 大（小） k2. （1）y =x 2-2x -3；（2）y =(x -1)2+23. 篮球入篮的路线为抛物线；拱桥为一抛物线．。