(2019全国1理)9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =,55a =,则( ) A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2122n S n n =- 答案: A解析:依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,可得132a d =-⎧⎨=⎩,25n a n =-,24n S n n =-.(2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若113a =,246a a =,则5S = . 答案:5S =1213解答:∵113a =,246a a = 设等比数列公比为q∴32511()a q a q = ∴3q = ∴5S =12132019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ,01=b ,4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b . (1)证明: {}n n b a +是等比数列,{}n n b a -是等差数列; (2)求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案:(1)见解析 (2)21)21(-+=n a n n ,21)21(+-=n b n n . 解析:(1)将4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++,又111=+b a ,故{}n n b a +是首项为1,公比为21的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ,4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a , 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ,又111=-b a ,故{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由{}n n b a +是首项为1,公比为21的等比数列可得1)21(-=+n n n b a ①;由{}n n b a -是首项为1,公差为2的等差数列可得12-=-n b a n n ②; ①②相加化简得21)21(-+=n a n n ,①②相减化简得21)21(+-=n b n n 。
(2019全国3理)5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a =() A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案: C解答:设该等比数列的首项1a ,公比q ,由已知得,4211134a q a q a =+, 因为10a >且0q >,则可解得2q =,又因为231(1)15a q q q +++=, 即可解得11a =,则2314a a q ==.(2019全国3理)14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若10a ≠,213a a =,则105S S = . 答案:4解析:设该等差数列的公差为d ,∵213a a =,∴113a d a +=,故()1120,0d a a d =≠≠,∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d++⨯====++.(2019北京理)10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=−3,S 5=−10,则a 5=__________,S n 的最小值为__________. 【答案】 (1). 0. (2). -10. 【解析】 【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a 的值,进一步研究数列中正项、负项的变化规律,得到和的最小值. 【详解】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等差数列的性质,难度不大,注重重要知识、基础知识、基本运算能力的考查.(2019北京理)20.已知数列{a n },从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m ),若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<,则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅,,,为{a n }的长度为m 的递增子列.规定:数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列.(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(Ⅱ)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p <q ,求证:0m a <0n a ;(Ⅲ)设无穷数列{a n }的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1,且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个(s =1,2,…),求数列{a n }的通项公式. 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6. (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可; (Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可;(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式,然后证明通项公式满足题中所有的条件即可. 【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为:1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为q 的递增子列12,,q a a a L ,都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列12,,p a a a L ,此时p q a a ≤,设所有长度为q 的子列的末项分别为:{}123,,,q q q a a a L , 所有长度为p 的子列的末项分别为:{}123,,,p p p a a a L ,则{}0123min ,,,n q q q a a a a =L, 注意到长度为p 的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列, 故{}0123min ,,,m p p p a a a a ≤L ,据此可得:00m n a a <(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,n n n a n n -⎧==⎨+⎩L 为偶数为奇数,下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列,且各项均为正整数,任意两项均不相等. 长度为s 的递增子列末项的最小值为2s -1,下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s -1的递增子列恰有12s -个()1,2,s =L : 当1n =时命题显然成立,假设当n k =时命题成立,即长度为k 末项为2k -1的递增子列恰有12k -个, 则当1n k =+时,对于n k =时得到的每一个子列121,,,,21k s s s a a a k --L ,可构造:()121,,,,21,211k s s s a a a k k --+-L 和()121,,,,2,211k s s s a a a k k -+-L 两个满足题意的递增子列, 则长度为k +1末项为2k +1的递增子列恰有()1112222k k k +--⨯==个,综上可得,数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,n n n a n n -⎧==⎨+⎩L 为偶数为奇数是一个满足题意的数列的通项公式. 注:当3s =时,所有满足题意的数列为:{}{}{}{}2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5, 当4s =时,数列{}2,3,5对应的两个递增子列为:{}2,3,5,7和{}2,3,6,7.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.(2019天津理)19.设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+,. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . (i )求数列(){}221n n a c -的通项公式; (ii )求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】(Ⅰ)31n a n =+;32nn b =⨯(Ⅱ)(i )()221941n n n a c -=⨯-(ii )()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可;(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列(){}221n n a c -的通项公式,结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形,结合等比数列前n 项和公式可得21ni i i a c =∑的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d dq d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩,解得32d q =⎧⎨=⎩,故4(1)331n a n n =+-⨯=+,16232n nn b -=⨯=⨯.所以,{}n a 的通项公式为31n a n =+,{}n b 的通项公式为32nn b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n nnnn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以,数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-.(ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.(2019上海)18.已知数列,,前项和为. (1)若为等差数列,且,求;(2)若为等比数列,且,求公比的取值范围.【解答】解:(1),, ; (2),存在,,存在,且,, ,,或, 公比的取值范围为,,.(2019上海)21.已知等差数列的公差,,数列满足,集合. (1)若,求集合; (2)若,求使得集合恰好有两个元素;(3)若集合恰好有三个元素:,是不超过7的正整数,求的所有可能的值.【解答】解:(1)等差数列的公差,,数列满足,集合. 当, 集合,0. (2),数列满足,集合恰好有两个元素,如图:根据三角函数线,①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时,集合恰好有两个元素,此时, ②终边落在上,要使得集合恰好有两个元素,可以使,的终边关于轴对称,如图,,此时, 综上,或者.{}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q 4133315a a d d =+=+=Q 4d ∴=2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+3(1)1n n q S q-=-Q lim n n S →∞11q ∴-<<∴lim n n S →∞11q ∴-<<0q ≠∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q →∞→∞-==--∴3121q <-34q ∴<10q ∴-<<304q <<∴q (1-0)(0⋃3)4{}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T Q {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈∴120,3a d π=={S =Q 12a π={}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈{}n a y S d π=1a OA S 2a 3a y OB OC 23d π=23d π=d π=(3)①当时,,集合,,,符合题意.②当时,,,,或者,等差数列的公差,,故,,又,2 当时满足条件,此时,1,.③当时,,,,或者,因为,,故,2. 当时,,1,满足题意. ④当时,,,所以或者,,,故,2,3. 当时,,满足题意. ⑤当时,,,所以,或者,,,故,2,3当时,因为对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有,,,,不符合条件.当时,因为对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有,,不是整数,不符合条件.当时,因为对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有或者,,或者,此时,均不是整数,不符合题意. 综上,,4,5,6.3T =3n n b b +=1{S b =2b 3}b 4T =4n n b b +=sin(4)sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+42n n a d k a π+=-{}n a (0d ∈]π42n n a d a k π+=+2k d π=1k ∴=1k ={S =-1}-5T =5n n b b +=sin(5)sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+52n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k ={sin10S π=sin}10π-6T =6n n b b +=sin(6)sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+62n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k=S =7T =7n n b b +=sin(7)sin sin n n n a d a a +==72n n a d a k π+=+72n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k =17~b b 2m n a a π-=227d m n ππ==-7m n -=7m >2k =17~b b 2m n a a π-=247d m n ππ==-m n -3k =17~b b 2m n a a π-=4π267d m n ππ==-467d m n ππ==-m n -3T =(2019江苏)8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列,S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是_____.【答案】16 【解析】 【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得:()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得:152a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建1a d ,的方程组. (2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }满足:245132,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”; (2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值.【答案】(1)见解析; (2)①b n =n ()*n ∈N ;②5.【解析】 【分析】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论;(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定k b 的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值. 【详解】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知,b k =k ,*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k k q k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x-=. 令()0f 'x =,得x =e .列表如下:因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==. 取q =k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k≤,即k k q ≤, 经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.10.设,a b R ∈,数列{}n a 中,21,n n n a a a a b +==+,b N *∈ ,则( )A. 当101,102b a =>B. 当101,104b a =>C. 当102,10b a =->D. 当104,10b a =->【答案】A【解析】【分析】 本题综合性较强,注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发,通过研究选项得解.【详解】选项B :不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时,如图,若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭, 排除如图,若a 为不动点12则12n a = 选项C :不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭,不动点为ax 12-, 令2a =,则210n a =<,排除选项D :不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭,不动点为1712x =±,令1712a =±,则1711022n a =±<,排除. 选项A :证明:当12b =时,2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥, 处理一:可依次迭代到10a ;处理二:当4n ≥时,221112n n n a a a +=+≥≥,则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭,则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A 【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a 的可能取值,利用“排除法”求解.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,34a =,43a S =,数列{}n b 满足:对每12,,,n n n n n nn S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.(1)求数列{},{}n n a b 的通项公式;(2)记,n C n *=∈N证明:12+.n C C C n *++<∈N L 【答案】(1)()21n a n =-,()1n b n n =+;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式,然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式;(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩,然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.【详解】(1)由题意可得:1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, 则数列{}n a 的通项公式为.其前n 项和()()02212n n n S n n +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列,即:()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦,据此有:()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+, 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得:2nC==<=<=,则)122022nC C C+++<+++=L L【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解,,裂项求和的方法,数列中用放缩法证明不等式的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。