x)
0
0a
k12
2mE 2
k22
2m(U0 2
E)
k12
2mE 2
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区 Ψ1(x) A1eik1x B1eik1x
U0 ⅠⅡ Ⅲ
Ⅱ区 Ψ2 (x) A2eik2x B2eik2x E
Ⅲ区 Ψ3(x) A3eik1x B3eik1x
B3 = 0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续
波函数的物理意义：
|Ψ(r,t) |2 —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
1. 时刻 t , 粒子在空间 r 处 dV 体积内出现的概率
dW
|
Ψ(r ,
t
)
|2
dV
Ψ(r ,
t
)Ψ*
(r ,
t
)dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
|Ψ(r,t) |2dxdydz 1
0a
x = 0 处：
Ψ1(0) Ψ2(0)
dΨ1 dΨ2 dx x0 dx x0
x = a 处：
Ψ2 (a) Ψ3(a)
dΨ2 dΨ3 dx xa dx xa
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
而得到反射系数 R | B1 |2 / | A1 |2和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2
t
定态薛定谔方程
粒子能量
描
述
2 x2
2 y2
2 z 2
Ψ(r)
2m 2
E
V
Ψ(r)
0
外 力 场
说明
的
势
(1)求解
E （粒子能量）
能
( r ) （定态波函数）
函
数
(2)势能函数 V 不随时间变化。
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
d
2Ψ( x) dx2
2m 2
E
V
Ψ
x
0
三. 一维无限深势阱中的粒子
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍 可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数
1eV
2eV 5×10-10m 0.024
电子
1eV
2eV 2×10-10m 0.51
质子
1eV
2eV 2×10-10m 3×10-38
五.一维谐振子
1.势能函数
U
(x)
1 2
kx2
1 2
m
2
x
2
m — 振子质量， — 固有频率，x — 位移
2.定态薛定谔方程
'
'
(
x)
2m 2
(
E
1 2
m
2
x2
)
(
x)
0
3.能量量子化
En (n 12)h
2m 2
(
E
e2
4 0r
)
0
1. 能量量子化
能量
En
1 n2
(8m02eh42 )
E1 n2
主量子数 n度ψnlm2（r,θ,）
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1
En
n2
h2 8ma2
n 2 E1
能量是量子化的
量子数为 n 的定态波函数为
Ψn x
An sin
nπ a
x
由归一化条件
|Ψn (x)
|2dx
1
可得 An a / 2
E3 32 E1
E2 22 E1
E1
x 0 概波率函分数布 a
波函数
Ψn (x)
2 sin nπ x aa
四.隧道效应（势垒贯穿）
说明
(n 0,1, 2, )
普朗克量子化假设 量子力学结果
En=nhv En=(n+1/2)hv
E0= 0 E0= hv/2
零点能
六.氢原子
(x22
2 y 2
2 z 2
)Ψ
2m 2
E
V
Ψ
0
V e2
4 0r
球坐标的定态薛定谔方程
1 r2
r
(r
2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
1 2 r2 sin 2 2
§16.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一. 波函数及其统计解释
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子状态
例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量，
所以 v 、 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波
函数为
Ψ( x, t )
i2π ( t x )
Ψ0e
Ψ0ei (Et px)
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定
谔方程为
2 2m
2 x2
2 y2
z 2
V
(r,t)
(r,t)
i
(r,t)
t
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时
间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
由上两式得
Ψ(r,
t
)
i Ψ(r )e
E
3. 波函数必须单值、有限、连续
概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
4. 单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
出现概率小
电子数 N=71320000
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率大
二. 薛定谔方程 (1926年)
描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。
Ψx Asinkx Bcos kx
V(r)
(x)
Ψ(x) 0
Ψ(x) 0
波函数在 x = 0 处连续，有
Ψ0 Asin k 0 Bcos k 0 0
B0
因此 Ψx Asin kx
在 x = a 处连续，有
0
a
x
Ψa Asin ka 0
所以
k nπ
a
其中
k2
2mE 2
粒子能量
V(x)
势能函数
Ψ(x) 0
V (x) = 0 0 < x < a
V (x) = ∞ 0 < x 或 x > a 0
0 > x 或 x < a 区域
Ψ(x) 0
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
Ψ(x) 0
a
x
d2Ψx
dx2
2mE 2
Ψ
x
0
令
k2
2mE 2
d
2Ψx
dx2
k
2Ψ
x
0
解为
势垒 Ⅰ区 U ( x ) = 0 x ≤ 0
Ⅱ区 U ( x ) = U0 0≤ x ≤ a
U0 ⅠⅡ Ⅲ
E
Ⅲ区 U ( x ) = 0
x≥a
定态薛定谔方程：
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
d 2Ψ1 ( x) dx2
k12Ψ1 ( x)
0
d2Ψ2 ( dx2
x)
k22Ψ2
(x)
0
d 2Ψ3 ( dx2
x)
k12Ψ3 (
分别为
R
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 (k2a) k22 )sin 2 (k2a) 4k12k22
Ⅰ
U0 Ⅱ
Ⅲ
T
(k12
4k12k22 k22 )sin 2 (k2a)
4k12k22
E
T R 1
0a
入射粒子一部分透射到达III 区，另一部分被势垒反射回I 区
讨论
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。