（项目）10.1 行列式的概念课时 2授课地点东阶1——2授课时间20XX年4月23日，第11周，第5～6节教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。

会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。

2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。

3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。

4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。

教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。

教学手段：多媒体、板书演示。

重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。

(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。

（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。

其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。

(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。

为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。

三阶行列式的特点：1、共有6项，三项正，三项负；2、 每项由三个元素相乘，每个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列，即有3！＝6种排法。

设有三元一次线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1）记111213212223313233a a a D a a a a a a =，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =，则当0D ≠时，可以证明方程（1）的唯一解为：312123,,D D Dx x x D D D===。

练习2 ：利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组123123123233046132x x x x x x x x x --=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解 系数行列式233146311D --=-，按照对角线法则得 ，,)n 排成 （10.9）⎭⎬⎫31,2,,)n ，则称为对角行列式，即22000nna主要特征是：主对角线以外的元素全为零． 0(,,1,2,,)i j i j n >=，则称为12220n n nna a a主对角线下方．．的元素全为零． 0(,,1,2,,)i j i j n <=，则称为下三角行列式，即212212000n n nna a a主对角线上方．．的元素全为零． 212212000n n nna a a 2211nn a a a =列式定21221200n n nn a a a 213332221100nn n n a a a a a a a==说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。

12122212n n n n nna a a a a ,则11222212n n T nnnna a D a a a =。

行列式与它的转置行列式的值相等，即TD D =。

这个性质说明了：行列式中行与列的地位是等同的．因而，凡是对行成立的性质，对列也成立；反之亦然。

互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。

)(j i c c ↔表示交换行列式的j 两行（列）1112112121212n j j jn j j jn n n nnn n nna k a a a a a a a a a 引入记号：行列i 行（列）式的第i 行（列）提出公因子k 可记作k r i ÷2 如果行列式的某一行（列）的元素都是零，则该行列式的值为零。

如果行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零。

如果行列式某两行（列）的元素为两个元素的和，则该行列式可以拆分成两个行列式之和。

即若12122212212n ni i i in inn n nna a a a a a a a a a '''+++121222112121n n i i in n n n a a a D a a a a a a =121222212121n ni i in n n n a a D a a a a a a ='''， 则12D D D =+性质6 行列式某一行（列）的各元素的k 倍（k 为常数），加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。

引入记号：以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上去，记作)(j i j i kc c kr r ++。

,;1,2,)m j n =排成m 行12122211n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭元素 行标列标12122212n n n n nn a a aa a ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭,,nn a 称为n阶方阵的主对角元素，经过元素阶方阵的主对角线，从右上角到左下角的对角线称为m n ⨯个元素全为零的矩阵，称为01)n n a ⨯列矩阵，记作：21m m b ⨯⎪⎪⎪⎪⎭ 主对角线上的所有元素全为2,,)n ，且：,),n 记主对角线下方（上方）的各元素均为零的方阵，称为上（下）三角上三角矩阵和下三角矩阵同称为三角矩阵。

即⎪⎪⎪⎫n n a a 2112122212(n n ij m m mn m nka ka ka kaka ka ⨯⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎭),k p 为任意实数如果开发商另有两个与之同样的开发计划，请用矩阵的运算给出开发商将开发的各种户型的总量．解房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩阵表示为因为该开发商还有两个与之一样的开发计划，所以该开发商将开发的各种房屋的总量可用矩阵表示为练习1解甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和由矩阵F表示为is sja b +,;1,2,,).m j n =构成1,2,,;1,2,,).m j n ==称为矩阵B A 与矩阵乘积矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 ；矩阵的元素ij c 等于左Ａ的第i 行与右Ｂ 的第j 列⑵ 分配律:()A B C AB AC +=+; ();A B C AC BC +=+⑶ 对任意常数k ,有: ()()();k AB kA B A kB ==⑷AO OA O == (O 矩阵起到数“0”的作用)；⑸ EA AE A == (E 矩阵起到数“1”的作用)。

3、矩阵乘法的三大特征 ⑴ 无交换律 即：AB BA ≠;⑵ 无消去律 即：AM AN =M N =⑶ 若0AB =0A =或0B =。

3、矩阵乘法应用举例例1 n 元线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111若可用矩阵相等表示为。

例2 （商场税收）若用矩阵表示某商场的两个分场两类商品的营业额；用矩阵表示两种商品的国税率、地税率，即设求各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额？解： 分析：一分场向国家财政上交的国税额= 一分场家电应上交的国税额+一分场服装应上交的国税额= 一分场家电的营业额家电的国税率+一分场服装的营业额服装的国税率，同理，得各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额为??3、方阵的幂（1）定义10.10 设()ij n n A a ⨯=是n 阶方阵，k Z +∈（k 为自然数），则k 个A 连乘所得到的积仍是n 阶方阵，称为方阵A 的k 次幂，记作：k A 。

即：kl lk A A =）（一般规定：0A E =说明：① 只有方阵才有幂运算！② k 只能是正整数。

（2）方阵幂运算满足运算律1）k l k lA A A+⋅= 2）().lk k l A A ⋅=例3已知：2133A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，000000B a b c ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，210.01E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 求：⑴ 2A ； ⑵ 3B ； ⑶ 25A A -； ⑷ 2253A A E -+。

解： ⑴ 2A AA =2133-⎛⎫=⎪-⎝⎭2133-⎛⎫⎪-⎝⎭22(1)(3)2(1)(1)3(3)23(3)(3)(1)33⨯+-⨯-⨯-+-⨯⎛⎫= ⎪-⨯+⨯--⨯-+⨯⎝⎭751512-⎛⎫= ⎪-⎝⎭； ⑵3B BBB =000000a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000ac ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000000a b c ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭000000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭kkAAA A =12122212n n m m mn m na a a a a ⨯⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭(m n ⨯11222212m m nnmn n ma a a a a ⨯⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭()n m ⨯ ⎪⎪⎭⎫4052，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=450231TA 。

转置满足的运算律 ()T A B +。