2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(文)
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题2
:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）
200.,10A x R x ∃∈+> 2
00.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤
3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）
123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==
4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）
21.()A f x x
=
2.()1B f x x =+
3.()C f x x = .()2x
D f x -=
6.若圆221:1C x y +=与圆22
2:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）
.21A .19B .9C .11D -
7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.
[]6,2--
B.[]5,1--
C.[]4,5-
D.[]3,6-
8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若1201x x <<<，则（ ）
A.2121ln ln x
x
e e x x ->-
B.2121ln ln x
x
e e x x -<-
C.1221x
x
x e x e >
D.1221x
x
x e x e <
10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03
B ，,()30
C ，
，动点D 满足 1CD =u u u r ,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A.[]46，
B.19-119+1⎡⎤⎣⎦
，
C.2327⎡⎤⎣
⎦
， D.7-17+1⎡⎤⎣
⎦
，
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 3i
+
12.在平面直角坐标系中，曲线
2 2
2
:
2
1
2
x t
C
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t为参数）的普通方程为___________.
13.若变量y
x，满足约束条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
+
≤
1
4
y
y
x
x
y
，则y
x
z+
=2的最大值为_________.
14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()0
1，
F的距离和到直线1-
=
x的距离相等.若机器人接触不到过点()0
1，
-
P且斜率为k的直线，则k的取值范围是___________.
15.若()(
)
ax e
x f x
++=1ln 3是偶函数，则=a
____________.
三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n
n S n ，2
2. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设()n n
a
n a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.
17.（本小题满分12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：
()()
()()()()()()()()(
)
()()
()()
b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，ρρρρρρ
ρ
ρρρ 其中a a ρ
，分别表示甲组研发成功和失败；b b ρ，分别表示乙组研发成功和失败.
（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN α
β--的大小为60o ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，
60BAD ∠=o ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .
（1）证明：AB ⊥平面ODE ；
（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.
19.（本小题满分13分）
如图4，在平面四边形ABCD 中，3
2,2,7,1,π=
∠==
=⊥ADC EA EC DE AB DA , 3
π
=
∠BEC
（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长
20.（本小题满分13分）
如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆22
2222222
:1(0)
x y C a b a b -=>>均过点23
(
,1)3
P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r
？证明
21.（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.
（1）求
()f x 的单调区间；
（2）记i x 为
()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有
222
121112
3
n x x x +++<L。