第八课时 函数的最值 【学习导航】
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学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；
2．单调性与最值：
设函数()y f x =的定义域为[],a b ，
若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ；
若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】
由图可以知道：
当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；
当3x =时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；
该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7)
二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）22y x x =-；
（2）1()f x x =
，[]1,3x ∈． 【解】
（１）222(1)1y x x x =-=--
∴当1x =时，min 1y =-； （２）因为函数1()f x x =
在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得最小值为
13
．
追踪训练一
1. 函数0)>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4
()B 4-
()C 与m 的取值有关 ()D 不存在
2. 函数2()2f x x x =-++的最小值是 ０ ，最大值是
32
． 3. 求下列函数的最值：
(1)4
()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-；
(2)()35,[3,6]f x x x =+∈
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1)(1)(1)2f f =-=;(0)1f =;(2)17f =
所以当0x =时，min 1y =；当2x =时，max 17y =；
(2)函数()35f x x =+是一次函数，且30>
故()35f x x =+在区间[3,6]上是增函数
所以当3x =时，min 14y =；
当6x =时，max 23y =；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．
【解】
22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线．
①若0a ≤，则()f x 在[0,4)上是增函数，∴[]min ()(0)0f x f ==；
②若04a <<，则[]2min ()()f x f a a ==-；
③若4a ≥，则()f x 在[0,4)上是减函数，∴()f x 的最小值不存在．
点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递增的，在[,]b c 上是单调递减的，则该函数在区间[,]a c 上的最大值一定是在x b =处取得；同理，若函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递减的，在[,]b c 上是单调递增的，则该函数在区间[,]a c 上的最小值一定是在x b =处取得．
追踪训练
１．函数)
1(11)(x x x f --=的最大值是 ( D)
()A 54 ()B 45 ()C 43 ()D 3
4 2. y=x 2+12-x 的最小值为( C )
A.0
B.43
C.1
D 不存在. 3. 函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =____38
____． 4.函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 . 5．已知二次函数2
()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，求实数a 的值．
解：函数2
()21f x ax ax =++的对称轴为1x =-， 当0a >时，则当2x =时函数取最大值4，即814a +=即a =
当0a <时，则当1a =-时函数取得最大值4，即14a -=所以，38a =或3a =-。

第8课 函数的最值
分层训练
1．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则 （ ）
A ．21
->k B ．21
-<k
C ．0>b
D ．0>b
2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （
）
A ． 至少有一实根
B ． 至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一的实根
3．已知f(x)=8+2x －x 2,如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x) （ ）
A ．在区间(－1,0)上是减函数
B ．在区间(0,1)上是减函数
C ．在区间(－2,0)上是增函数
D ．在区间(0,2)上是增函数
考试热点
4．函数22[0,2]
()2[3,0)x x x f x x x ⎧-∈=⎨∈-⎩的最小值是 ． 5－x -1 的最大值为_____.最小值为_____.
6，单调递减区间为 ，最大值为 .
7．(1) (2)
8．已知函数22(),[1,)x x a
f x x x ++=∈+∞．
（1）当0.5a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．
拓展延伸
9．已知3
1≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．
（1）求()g a 的函数表达式；
（2）判断函数()g a 在区间[3
1，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 .
10．在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。

生产x 台的收入函数为2
203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；
②求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义.。