第一节 无穷级数概念与性质
❖ 重点：（1） 级数及其收敛与发散 （2） 级数的基本性质 （3） 级数收敛的必要条件
❖ 难点: 用定义判断级数的敛散性
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一、无穷级数的基本概念
定义 ：给定序列 u1 ， u 2 ， u3 ，…， un ，…，则式子
u1 u2 u3 un
性质 4 收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛， 其和不变。
注意：性质 4 的逆命题是错误的。
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例4
判别级数
2 (1)n1
(
)
是否收敛，如果收敛，并求其和。
n1
3n
1
1
解： n1 3n 是
同理
q1 3
的等比级数，收敛并且和为
1
3 1 1 1 2
3
。
(1)n1
3
1
n1 3n
1 1 4
称为无穷级数，简称级数，缩记为 un ，即 n1 un u1 u2 u3 un ， n1
其中 un 叫做级数的一般项（或称通项）。 当级数的每一项都是常数时，称级数为常数项级数，简称数项 级数。当级数的每一项都是函数时，称级数为函数项级数。
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1. 判定下列级数的敛散性 （1） 1 2 3 n
（2） 1 1 1 1 1 (1)n1
（3）
1 1 1 L 1 L
1 2 23 3 4
n(n 1)
（4） ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1
123
n
解：（1） 级数的部分和为
Sn
1 23
n
n(n 1) 2
二、数项级数的收敛和发散
例 1 讨论级数
3 3 3
3
3
n1 10 n 10 100 1000
10 n
1
解：这是以10 为公比的等比级数，分别取级数的前1 项，
前 2 项，…前 n 项做和：
S1
3 10
0.3
S2
3 10
3 102
0.33
S3
3 3 10 102
3 103
0.333
……………………
掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级 数的方法。
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内容提要
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无穷级数
无穷级 数概念 和性质
数
函数的 幂级 数展开
傅立 叶 级数
正弦与余 周期为2L 傅立叶 弦级数 的函数 级数的
的傅立 复数 周期延拓 叶级数 形式
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一般的，对级数 项，…的和 ， ，
，分别取它的前 1项u，n 2 项，…， n 1
，…， ，…
即
n
…………………S1…
S2
S3
…………………… S1 u1
设数列 ， ， ，…， ，…为级数
S2 u1 u2
的部分和
数列（简称部分和），这样，就可以把无穷多项求和的问题归
结为求相应的部分和数列的极限问题。
的敛散性。
解：此级数的部分和为
a(1 q n ) Sn 1 q
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三、无穷级数的性质
性质 1 若 un S ， C 为常数，则 Cun CS 。
n1
n1
性质 2
若 un S， vn ，则有
n1
n1
(un vn ) un vn S
n1
n1
n1
性质 3 一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散 性（但收敛级数的和要变）。
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书名：高等数学（下） ISBN： 978-7-111-31288-8 作者：陶金瑞 出版社：机械工业出版社 本书配有电子课件
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第九章 无穷级数
学习目标：
理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正 项级数和交错级数的审敛法；
掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函 数用间接展开法展开成幂级数；
lim
n
S
n
lim
n
n(n 1) 2
所以级数 n 发散。
n 1
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（2） 级数的部分和为
S1 1 ，S2 0 ，S3 1 ，S4 0 ，…… 即 S 2n1 1 ， S 2n 0
所以
lim
n
S
n
不存在，所以级数
(1) n1
n 1
（3）因为 1 1 1 ，
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Sn
3 3 10 102
3 10 3
3 10 n
0.333
3
………………… 当 n 时，有
lim
n
S
n
0.333
3
0.3 1 3
3
它反映了级数 n1 10n
的无穷多项累加的结果为
1 3
，我们
1
把极限值 3
3
叫作级数 n1 10n
的“和”。
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Sn u1 u2 un
S
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定义
如果
lim
n
S
n
S
，则称级数 un n1
收敛，称极限值S
为级
数的和，记作
Sn un u1 u2 un n1
此时称 rn S Sn Sn1 Sn2 为级数的余项。如果lnim Sn
不存在，则称级数 un 发散，发散的级数没有和。 n1
n
un
0
只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；
2）
若
lim
n
un
0 不成立，则级数必定发散。我们经常用
这个结论来证明级数发散。
例 5 判别级数 n 0.01 的敛散性。
解：un
3
根据级数的性质 1，2 可知，
2 (1)n1
(
)
也收敛，其和为
n1
3n
( 2 (1)n1 ) 2 (1)n1
n1
3n
3 3 n
n
n1
n1
2
1 1 2 1 1 5
3n
n1
4
24 4
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四、级数收敛的必要条件
定理：若级数
un
收敛，则lim n
un
0。
n 1
注：1）
lim
n(n 1) n n 1
发散。
所以级数的部分和为
Sn
(1
1) (1 22
1) (1 33
1) 4
(1 n
1) n 1
1
1 n 1
而
lim
n
S
n
lim (1 n 1
1) n 1
1
所以级数
n1
n(n
1)
收敛，其和为 1
。
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（4） 因为ln n 1 ln(n 1) ln n
，
n
所以
Sn (ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) (ln 4 ln 3) (ln(n 1) ln n)
ln(n 1)
而
lim
n
S
n
lim ln(n 1) n
所以级数 ln n 1 发散。
n 1
n
例 3 讨论等比级数 （又称几何级数 ）
a aq aq2 aqn1 (a 0)