导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。

2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 21(2)()[2,2]1f x x =-+；(3)()[0,3]f x =； 2(4)()1[1,1]x f x e =--解：2(1)()23[1,1.5]f x x x =---该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14ξ=。

解：21(2)()[2,2]1f x x =-+该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1(2)5f =，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使222()0(1)f ξξξ-'==+，解出0ξ=。

解：(3)()[0,3]f x =该函数在给定闭区间上连续，其导数为()f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =，(3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0f ξ'==，解出2ξ=。

解：2(4)()e 1[1,1]x f x =--该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。

2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。

3(1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2]f x x=；32(3)()52[1,0]f x x x x =-+--解：3(1)()[0,](0)f x xa a =>该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3f x x '=，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a ξ∈，使()(0)()(0)f a f f a ξ'-=-，即3203(0)a a ξ-=-，解出ξ=。

解：(2)()ln [1,2]f x x=该函数在给定闭区间上连续，其导数为1()f x x'=，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,2)ξ∈，使(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即1ln 2ln1(21)ξ-=-，解出1ln 2ξ=。

解：32(3)()52[1,0]f x x x x =-+--该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3101f x x x '=-+，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(1,0)ξ∈-，使(0)(1)()(01)f f f ξ'--=+， 即22(9)(3101)(01)ξξ---=-++，解出ξ=。

3.不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个实根及根所在的范围。

答案：有三个根，分别在(1,2),(2,3),(3,4)4证明：当1x ≥时，恒等式222arctan arcsin 1xx x π+=+成立 证：设22()2arctan arcsin1xF x x x=++ 当1x ≥时，()F x 连续，当1x >时，()F x 可导且22222222(1)2222()01(1)11x x x F x x x x x +-⋅'==-=++++ 即当1x ≥时，()F x C ≡，即()(1)242F x F πππ==⨯+=故当1x ≥时，222arctan arcsin1xx xπ+=+ 5设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，证明在(0,1)内存在一点c ， 使 ()2()()cf c f c f c ''+=．证明：令2()(1)()F x x f x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因(0)0f =，则(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)c ∈使()0F c '= 又2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''=-+-，即22(1)()(1)()0c f c c f c '-+-= 而(0,1)c ∈，得()2()()cf c f c f c ''+=6.已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-．证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=又()()()F x f x xf x ''=+，即()()0f f ξξξ'+=，故()()f f ξξξ'=-．7.证明不等式：2121sin sin x x x x -≤-证明：设函数()sin f x x =，，12,x x R ∀∈，不妨设12x x <，该函数在区间12[,]x x 上连续，在12(,)x x 上可导，由拉格朗日中值定理有2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-，12()x x ξ<<即2121sin sin cos ()x x x x ξ-=-，故2121sin sin cos ()x x x x ξ-=-，由于cos 1ξ≤，所以有2121sin sin x x x x -≤-8.证明不等式：11()()(1,0)n n n n nba b a b na a b n a b ---<-<->>>证明：设函数()nf x x =，在[,]b a 上连续，在(,)b a 内可导，满足拉格朗日定理条件，故1()n n n a b n a b ξ--=-，其中0b a ξ<<<，因此111n n n b a ξ---<<有111()()()n n n nba b n a b na a b ξ----<-<- 所以11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-9.利用洛必达法则求下列极限：0e e (1)lim x x x x-→-； 解：00e e e +e limlim 21x x x xx x x --→→-== 1ln (2)lim1x xx →-； 解：111ln lim lim 111x x xx x →→==-3232132(3)lim 1x x x x x x →-+--+；解：322322113236lim lim 1321x x x x x xx x x x x →→-+-==∞--+-- 2ln()2(4)lim tan x x x ππ+→-； 解：2222221ln()cos 2cos (sin )22lim lim lim lim 01tan 1cos 2x x x x x x x x x x x x πππππππ++++→→→→--⋅-====-(5)lim (0,enaxx x a n →+∞>为正整数）解：1!lim limlim 0e e e n n ax ax n axx x x x nx n a a -→+∞→+∞→+∞===⋅⋅ 0(6)lim ln (0)mx x x m +→>； 解：100001ln lim ln lim lim lim 0m m m m x x x x x x x x x x mx m ++++---→→→→====-- 011(7)lim()e 1x x x →--；解：0000011e 1e 1e 11lim()lim lim lim lim e 1(e 1)e 1e e e e 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====---++++1(8)lim(1sin )xx x →+；解：11sin sin 0lim(1sin )lim(1sin )e x x x xx x x x ⋅→→+=+=sin 0(9)lim xx x +→； 解：212000001ln sin sin sin lim sin ln limlim limlimsin 0cos cos sin sin cos 0lim eee eee 1x x x x x xx x xx x xxx x x xxx xx x --+++++→→→→→+⋅-⋅--⋅→=======10.设函数ln(1)0()1kx x f x xx +⎧≠⎪=⎨⎪-=⎩，若()f x 在点0x =处可导，求k 与(0)f '的值。

解：由于函数在0x =处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有 00ln(1)limlim (0)1x x kx kxk f xx →→+====-，即1k =-按导数定义有200000ln(1)111()(0)ln(1)111(0)lim lim lim lim lim 022(1)2x x x x x x f x f x x x x f x x x x x →→→→→-+-+--+--'======--- 11.设函数21cos 0()0110e 1xxx x f x kx x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪-<-⎩，当k 为何值时，()f x 在点0x =处连续。

解：函数连续定义，0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==， 00000011e 1e 1e 11lim ()lim ()lim lim lim lim e 1(e 1)e 1e e e e 22x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x ------→→→→→→---=-=====---++++ 201cos 1lim ()lim 2x x x f x x ++→→-==，而01(0)lim ()2x f k f x →===； 即当12k =时，函数()f x 在0x =点连续。