第五篇 不等式专题30 十拿九稳----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m= （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．例2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ； 因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．例3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．例4.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例5.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小.详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有：（1）作差法（作商法）；（2）利用函数单调性比较大小；（3）借助中间变量比较大小.例6.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.详解：，在上为减函数，且时，时，，且，，且，且，，在上单调递减，，即，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例7.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出的导数，得到函数的在上递增，利用对数函数与指数函数的性质可得，，从而比较函数值的大小即可.详解：时，，,可得在上递增，由对数函数的性质可得所以，由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.例8．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．详解：当时，，则在上是增函数，且当]时，，∵，∴的周期为2．故选D ．例9.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c 的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设 则其导数又由满足，则有 则函数在上为增函数， 若 是锐角三角形，则有即即有或对于又由 ，则有，即可以排除A 、B ，对于又由 ，则有 ，即可得D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h （x ）并分析其单调性．【精选精练】1.【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为551log 2log 52a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.2.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【解析】本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断,,a b c 的范围.首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：11222log ,log ,log a b c 均大于0，由对数的符号特点可得：(),0,1,1a b c ∈>，只需比较,a b 大小即可.观察到1212ba⎛⎫>> ⎪⎝⎭，从而1122log log a b a b >⇒<，所以顺序为a b c <<，选A.【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22xxx y y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.3.【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】∵，，，∴，为偶函数，，又在上单调递增，，即.故选C.4.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】∵∴∴ ∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴ ∴函数是偶函数 ∴当时，易得为增函数∴，∵，，∴ ∴故选D.5.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果. 详解：因为时， ,,,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 6.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A. ()21log 2a b a a b b +<<+ B. ()21log 2a b a b a b<+<+C. ()21log 2a b a a b b +<+< D. ()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 21,2a ba b a b ab ><<∴<+>= ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 7．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数()0.220.220.2,log ,2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知2log 0.20<， 200.21＜＜， 0.221>，即01a <<，0b <， 1c >，∴b a c <<，故选C.8．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据条件判断出函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可. 详解：因为定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，由都满足，所以函数在上为增函数，因为是偶函数，所以，又由，所以，即，故选D.点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ） A. B.C.D.【答案】B【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】D 【解析】令0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 20sin α<<， cos sin αα>，令()()sin xf x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x x α=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设1lna π=， 2ln5b e-=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 【答案】A【解析】∵f （x+2）=﹣f （x ），∴f （x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f （x+2）=f （x ）， ∴函数f （x ）是周期为4的周期函数，()()1ln ln π0f a f f π⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，()2ln 555130222f b f e f f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()0.10.10.10.113322303f c f f f f -⎛⎫⎛⎫===--=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1ln π2>=，且()21xf x =-在[]0,1上单调递增， ∴()1ln π2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f a f b < 故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知sin(x+ ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a 【答案】B【解析】 ()()()12212222cos x f x sin x ϕϕ++=++- ()()122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∵33ππϕ-<<，∴52266πππϕ-<+<， ∴266ππϕ+=，解得0ϕ=．∴()26f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴()111112,262121262a fsin b f sin ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==-=⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5353224246b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b c <<．选B ．。