2020年吉林省长春市净月高新区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列实数中，是无理数的为()A．0B．13-C．2D．3.142．（3分）2020年“五一”假日期间，某电商平台网络交易总金额接近15亿元．其中15亿用科学记数法表示为()A．91.510⨯B．91510⨯C．81.510⨯D．81510⨯3．（3分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．圆锥4．（3分）不等式330x+的解集在数轴上表示正确的是()A．B．C．D．5．（3分）如图，ABO CDO∆∆∽，若6BO=，3DO=，2CD=，则AB的长是()A．2B．3C．4D．56．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若235∠=︒，则1∠的度数为()A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒7．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则CPD ∠的度数为( )A ．30︒B ．36︒C ．60︒D ．72︒8．（3分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( ) A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：23()m m = ．10．（3分）若3a b -=，1ab =，则22a b ab -= ．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 ．12．（3分）如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8AC =，5BC =．则BEC ∆的周长是 ．13．（3分）如图，平行四边形ABCD 中，顶点A 的坐标是(0,2)，//AD x 轴，BC 交y 轴于点E ，点E 的纵坐标是4-，平行四边形ABCD 的面积是24，反比例函数ky x=的图象经过点B 和D ．则k = ．14．（3分）如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，点P 的坐标为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(2)()(3)a b a b a b ----，其中7b ．16．（6分）净月某校在抗疫期间组织志愿小组到附近敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小红、小丽中选取一名男生和一名女生．请用画树状图（或列表）的方法，求出恰好选中男生小明和女生小红的概率．17．（6分）某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量．18．（7分）如图，BC 为O 直径，点A 是O 上任意一点（不与点B 、C 重合），以BC 、AB 为邻边的平行四边形ABCD 的顶点D 在O 外．（1）当AD 与O 相切时，求B ∠的大小．（2）若O 的半径为2，2BC AB =，直接写出AC 的长．19．（7分）如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，以AB为边画等腰ABC∆，要求点C在格点上．（1）在图①、图②中画出两种不同形状的等腰三角形ABC∆．（2）格点C的不同位置有处．20．（7分）净月某中学为了抗疫宣传，在七八年级开展了“防疫知识”大赛．为了解参赛学生的成绩情况，从两个年级中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：七年级：88 94 90 94 84 94 99 94 99 100八年级：84 93 88 94 93 98 93 98 97 99整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：成绩x 人数年级8085x<8590x<9095x<95100x七年级1153八年级a144分析数据：补全下列表格中的统计量：统计量年级平均数中位数众数方差七年级93.694b24.2八年级93.7c9320.4得出结论：（1）a=，b=，c=．（2）由统计数据可知，年级选手的成绩比较接近．（3）学校规定，成绩不低于90分的选手可以获奖，若该校七年级有200人参加比赛，请估计有多少人获奖．21．（8分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米)与甲出发的时间x（分)之间的关系如图中折线OA AB BC CD---所示．（1）甲的速度为米/分，乙的速度为米/分．（2）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）求乙比甲早几分钟到达终点？22．（9分）【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作AOB∠的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM ON=．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为AOB∠的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当4tan3AOB∠=时，量得4MN cm=，直接写出MON∆的面积．23．（10分）如图①，在平行四边形ABCD中，8AB=，6BC=，60ABC∠=︒．AE平分BAD∠交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ AD⊥，交射线AE于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ 与ADF∆重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．(0)t>（1）用含t的代数式表示QF的长．（2）当点M 落到CD 边上时，求t 的值． （3）求S 与t 之间的函数关系式．（4）连结对角线AM 与PQ 交于点G ，对角线AC 与BD 交于点O （如图②)．直接写出当GO 与ABD ∆的边平行时t 的值．24．（12分）函数2211(1)(2222(1)x mx m x y m x mx m x ⎧--+⎪=⎨⎪-++-<⎩为常数）（1）若点(2,3)-在函数y 上，求m 的值． （2）当点(,1)m -在函数y 上时，求m 的值．（3）若1m =，当12x -时，求函数值y 的取值范围．（4）已知正方形ABCD 的中心点为原点O ，点A 的坐标为(1,1)，当函数y 与正方形ABCD 有3个交点时，直接写出实数m 的取值范围．2020年吉林省长春市净月高新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）下列实数中，是无理数的为( ) A ．0B ．13-C ．2D ．3.14【解答】解：A 、0是有理数，故A 错误； B 、13-是有理数，故B 错误；C 、2是无理数，故C 正确；D 、3.14是有理数，故D 错误；故选：C ．2．（3分）2020年“五一”假日期间，某电商平台网络交易总金额接近15亿元．其中15亿用科学记数法表示为( ) A ．91.510⨯B ．91510⨯C ．81.510⨯D ．81510⨯【解答】解：将15亿1500000000=用科学记数法表示为：91.510⨯． 故选：A ．3．（3分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．圆锥【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱． 故选：C ．4．（3分）不等式330x +的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：330x+，33x-，1x-，在数轴上表示为：．故选：B．5．（3分）如图，ABO CDO∆∆∽，若6BO=，3DO=，2CD=，则AB的长是()A．2B．3C．4D．5【解答】解：ABO CDO∆∆∽，∴BO ABDO DC=，6BO=，3DO=，2CD=，∴632AB =，解得：4AB=．故选：C．6．（3分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若235∠=︒，则1∠的度数为()A．45︒B．55︒C．65︒D．75︒【解答】解：如图，作//EF AB ， //AB CD ， ////EF AB CD ∴，235AEF ∴∠=∠=︒，1FEC ∠=∠， 90AEC ∠=︒， 1903555∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．7．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则CPD ∠的度数为( )A ．30︒B ．36︒C ．60︒D ．72︒【解答】解：如图，连接OC ，OD ．ABCDE 是正五边形， 360725COD ︒∴∠==︒， 1362CPD COD ∴∠=∠=︒，故选：B ．8．（3分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( ) A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩【解答】解：由题意可得， 56145x y x y y x+=⎧⎨+=+⎩， 故选：C ．二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：23()m m = 7m ． 【解答】解：2367()m m m m m ==． 故答案为：7m ．10．（3分）若a b -=1ab =，则22a b ab -【解答】解：a b -=1ab =， 22a b ab ∴- ab a ab b =-()ab a b =-1==，11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 5 ． 【解答】解：1a =，3b =-，1c =，∴△224(3)4115b ac =-=--⨯⨯=，故答案为：5．12．（3分）如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8AC =，5BC =．则BEC ∆的周长是 13 ．【解答】解：DE是线段AB的垂直平分线，EA EB∴=，BEC∴∆的周长13BC CE EB BC CE EA BC AC=++=++=+=，故答案为：13．13．（3分）如图，平行四边形ABCD中，顶点A的坐标是(0,2)，//AD x轴，BC交y轴于点E，点E的纵坐标是4-，平行四边形ABCD的面积是24，反比例函数kyx=的图象经过点B和D．则k=8．【解答】解：顶点A的坐标是(0,2)，2OA∴=，点E的纵坐标是4-，4OE∴=，6AE∴=，又ABCD的面积是24，4AD BC∴==，//AD x轴，(4,2)D∴反比例函数kyx=的图象经过点D，428k∴=⨯=，故答案为：8．14．（3分）如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当PAB ∆的周长最小时，点P 的坐标为13(0,)5．【解答】解：2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩， 解得，12x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩，∴点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(4,5)，22(52)(41)32AB ∴-+-=作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '与y 轴的交于P ，则此时PAB ∆的周长最小， 点A '的坐标为(1,2)-，点B 的坐标为(4,5)， 设直线A B '的函数解析式为y kx b =+， 245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，得35135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线A B '的函数解析式为31355y x =+， 当0x =时，135y =， 即点P 的坐标为13(0,)5， 故答案为：13(0,)5．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(2)()(3)a b a b a b ----，其中7b ． 【解答】解：2(2)()(3)a b a b a b ---- 22224433a ab b a ab ab b =-+-++- 2b =，当7b =时，原式7=．16．（6分）净月某校在抗疫期间组织志愿小组到附近敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小红、小丽中选取一名男生和一名女生．请用画树状图（或列表）的方法，求出恰好选中男生小明和女生小红的概率． 【解答】解：列表得：小亮 小明 小伟 小丽 小丽，小亮 小丽，小明 小丽，小伟 小红小红，小亮小红，小明小红，小伟共有6种等可能的情况，而正好是男生小明和女生小红的有1种情况，∴正好抽到男生小明和女生小红的概率16=． 17．（6分）某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量．【解答】解：设原来每天加工x 个零件，则改进技术后每天加工5x 个零件， 依题意，得：16096016045x x-+=， 解得：80x =，经检验，80x=是原分式方程的解，且符合题意．答：原来每天加工80个零件．18．（7分）如图，BC为O直径，点A是O上任意一点（不与点B、C重合），以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在O外．（1）当AD与O相切时，求B∠的大小．（2）若O的半径为2，2=，直接写出AC的长．BC AB【解答】解：（1）连接OA，如图1所示：AD与O相切，∴⊥，AD OA四边形ABCD是平行四边形，∴，AD BC//∴⊥，OA BC=，OA OBOAB∴∆是等腰直角三角形，∴∠=︒；B45（2）连接AC，如图2所示：BC 为O 直径， 90BAC ∴∠=︒， 2BC AB =， 30ACB ∴∠=︒， 60B ∴∠=︒，2120AOC B ∴∠=∠=︒，∴AC 的长120241803ππ⨯==． 19．（7分）如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A 、B 均在格点上，以AB 为边画等腰ABC ∆，要求点C 在格点上． （1）在图①、图②中画出两种不同形状的等腰三角形ABC ∆． （2）格点C 的不同位置有 3 处．【解答】解：（1）ABC ∆如图所示．（2）格点C 的位置有3处． 故答案为3．20．（7分）净月某中学为了抗疫宣传，在七八年级开展了“防疫知识”大赛．为了解参赛学生的成绩情况，从两个年级中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下： 七年级：88 94 90 94 84 94 99 94 99 100 八年级：84 93 88 94 93 98 93 98 97 99整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：11 5分析数据：补全下列表格中的统计量： 得出结论：（1）a = 1 ，b = ，c = ．（2）由统计数据可知， 年级选手的成绩比较接近．（3）学校规定，成绩不低于90分的选手可以获奖，若该校七年级有200人参加比赛，请估计有多少人获奖．【解答】解：（1）由样本数据知八年级在8085x <的人数1a =，将八年级10名学生的成绩重新排列为84，88，93，93，93，94，97，98，98，99， 所以其中位数(9394)293.5c =+÷=， 七年级94分人数最多，故众数94b =； 故答案为：1、94、93.5；（2）由表知八年级成绩的方差20.4小于七年级成绩的方差24.2，∴八年级的成绩更稳定，即成绩比较接近；（3）估计七年级获奖人数为5320016010+⨯=（人)， ∴估计有160人获奖．21．（8分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米)与甲出发的时间x （分)之间的关系如图中折线OA AB BC CD ---所示．（1）甲的速度为 60 米/分，乙的速度为 米/分． （2）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围． （3）求乙比甲早几分钟到达终点？【解答】解：（1）由线段OA 可知：甲的速度为：240604=（米/分）， 乙的步行速度为：240(164)6080164+-⨯=-（米/分）， 故答案为：60；80．（2）根据题意得：设线段AB 的表达式为：y kx b =+(416)x ， 把(4,240)，(16,0)代入得： 4240160k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得20320k b =-⎧⎨=⎩， 即线段AB 的表达式为：20320y x =-+(416)x ．（3）在B 处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240(164)60960+-⨯=（米)， 与终点的距离为：24009601440-=（米)， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：14402460=（分)， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：14401880=（分)， 24186-=（分)，答：乙比甲早6分钟到达终点．22．（9分）【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 SSS ． 【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作AOB ∠的角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ON =． ②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ． ③作射线OP ，则OP 为AOB ∠的平分线． （1）请写出小明作法的完整证明过程． （2）当4tan 3AOB ∠=时，量得4MN cm =，直接写出MON ∆的面积．【解答】【问题1】解：由作图可知：OE OD =，EC DC =，OC OC =， ()EOC DOC SSS ∴∆≅∆，故答案为SSS ．【问题2】①证明：由作图可知：OM ON =，90ONP OMP ∠=∠=︒，OP OP =，Rt ONP Rt OMP(HL)∴∆≅∆，PON POM ∴∠=∠，即OP 平分AOB ∠．②解：作MH OB ⊥于H ，连接MN ． 4tan 3MH AOB OH ∠==， ∴可以假设4MH k =，3OH k =则5OM ON k ==，2HN k ∴=，在Rt MNH ∆中，222MN HN MH =+，2224(4)(2)k k ∴=+， 25k ∴=（负根已经舍弃）， 525ON k ∴==，854MH k ==， 118525822MNO S ON MH ∆∴==⨯⨯=．23．（10分）如图①，在平行四边形ABCD 中，8AB =，6BC =，60ABC ∠=︒．AE 平分BAD ∠交CD 于点F ．动点P 从点A 出发沿AD 向点D 以每秒1个单位长度的速度运动．过点P 作PQ AD ⊥，交射线AE 于点Q ，以AP 、AQ 为邻边作平行四边形APMQ ，平行四边形APMQ 与ADF ∆重叠部分面积为S ．当点P 与点D 重合时停止运动，设P 点运动时间为t 秒．(0)t > （1）用含t 的代数式表示QF 的长． （2）当点M 落到CD 边上时，求t 的值． （3）求S 与t 之间的函数关系式．（4）连结对角线AM 与PQ 交于点G ，对角线AC 与BD 交于点O （如图②)．直接写出当GO 与ABD ∆的边平行时t 的值．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是平行四边形，AD BC∠=∠，6==，∴，D ABC//AD BCABC∠=︒，60D∠=︒，∴∠=︒，60DAB120AE平分DAB∠，60∴∠=︒，DAQ∴∆是等边三角形，ADF∴==，AF AD6⊥，PQ AD∴∠=︒，APQ90∴==，AQ AP t22∴=-=-；FQ AF AQ t62（2）如图2中，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，18060D DAB ∴∠=︒-∠=︒，//PM AE ，//MQ AD ，60DPM DAQ ∴∠=∠=︒，四边形APMQ 是平行四边形，DPM ∴∆是等边三角形，22PM AQ PA t ===，DP PM ∴=，62t t ∴-=，2t ∴=．（3）①当02t <时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ ，23S AP PQ t ==． ②如图3中，当23t <时，重叠部分五边形APSTQ ，22235336)9393S t t t =-=+-； ③如图4中，当36t <时，重叠部分是四边形PSFA ．2223336(6)33DAF DSP S S S t t t ∆∆=-=⨯--=-+． 综上所述，2223(02)539393(23)333(36)t t S t t t t t t ⎧⎪<⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎩；（4）如图5中，当//GO AB 时，AG GM =，∴点M 在线段CD 上，此时2t s =．如图6中，当//GO AD 时，则B 、C 、Q 共线，可得ABQ ∆是等边三角形，8AB AQ BQ ===，28AQ t ∴==，4t s ∴=，综上所述，2t s =或4s 时，GH 与三角形ABD 的一边平行或共线．24．（12分）函数2211(1)(2222(1)x mx m x y m x mx m x ⎧--+⎪=⎨⎪-++-<⎩为常数）（1）若点(2,3)-在函数y 上，求m 的值．（2）当点(,1)m -在函数y 上时，求m 的值．（3）若1m =，当12x -时，求函数值y 的取值范围．（4）已知正方形ABCD 的中心点为原点O ，点A 的坐标为(1,1)，当函数y 与正方形ABCD 有3个交点时，直接写出实数m 的取值范围．【解答】解：（1）把(2,3)-代入2222y x mx m =-++-中得，44223m m --+-=，92m ∴=-； （2）分两种情况：①当1m 时，把(,1)m -代入2112y x mx m =--+中得： 221112m m m --+=-， 2240m m +-=，15m ∴=-15-)；②当1m <时，把(,1)m -代入2222y x mx m =-++-中得：222221m m m -++-=-，12m ∴=-+或12--；综上，m 取值为15-+或12-±；（3）当1m =时，221(1)22(1)x x x y x x x ⎧-⎪=⎨⎪-+<⎩，如图1所示，当1x =-时，123y =--=-，当2x =时，220y =-=，当1x =时，121y =-+=，∴当12x -时，函数值y 的取值范围是31y -<；（4）如图2，当2222y x mx m =-++-的顶点落在线段BC 上时，顶点的纵坐标为1-，有： 2221m m +-=-， 解得：112m =-)，212m =-+如图3，当2222y x mx m =-++-经过点(1,1)B -时，有： 12221m m -++-=-，解得：12m =． 1122m ∴-<． 如图4，当函数图象经过点(1,1)A 时，有：1421m -+-=，1m ∴=．如图5，当2112y x mx m =--+经过点(1,1)B -时，有： 1112m m --+=-， 解得：54m =． 514m ∴<．综上，当1122m-+<或514m<时相关函数图象与正方形ABCD的边有3个交点．。