( i )
i 1 k i k 1
(
n
i
)
判据：将测量值及残差按测量的先后次序排列，若前半组的残差之和与后 半组的残差之和的差值显著地不为零，则测量列中含有线性系统误差存在。 例：2-14/B39 ② 用于发现周期性系统误差： 若一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为v1 ,v2 ,vn ，如果存 在着按此顺序呈周期性变化的系统误差，则相邻了残余误差的差值( )符
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Δ
（一）不变的系统误差 在整个测量过程中，误差符号和大小固定不变的系统误差，称为不变的系 统误差。 例某量块的公称尺寸 10mm，实际尺寸 10.001mm，误差为-0.001mm，若按公 称尺寸使用，始终会存在-0.001mm 的系统误差。 （二）线性变化的系统误差 在整个测量过程中，随着测量值或时间的变化，误差值是成比例地增大或 减小，称为线性变化的系统误差。 线性变化的系统误差举例： 1）在大地测量中，用锻钢尺测量距离 L，若段钢尺的长度为 l ，尺长误差 为 l ，则距离的测量误差 Δ L 为：
（2）判据 1：将测量值及残差按测量的先后顺序排列，若残差的大小向一 个方向递增或递减，且符号首末相反，则测量列中有线性系统误差。 例如图示： （b） （3）判据 2：将测量值及残差按测量的先后顺序排列，若残差的符号由正 到负再由负到正， 且循环交替重复变化， 则测量列中含有周期性系统误差存在。
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（4）图（d）的残差值变化既有线性递增又有周期性变化，则说明存在复 杂规律的系统误差。例：2-13/P38（自己看） （三）残余误差校核法： （用于发现线性系统误差与周期性系统误差） ①用于发现线性系统误差 将测量值及残差按测量的先后次序排列，将残差分为前半组 K 个，后半 组 K 个， 即K
L
L l l L l l

l 为一常数，故 L 与 L 成线性关系。 l
2）测量线胀系数为 的物体长度 L 时，由温度偏差引起的测长误差 L 为 线性误差，即 L L t
t t 20 ℃
3）用电位器测量电动势时，由于电位器工作电流回路中，蓄电池电压随着 放电时间而降低，因此引起线性的测量误差。 4）千分尺测微螺杆的螺距累积误差和长刻度尺的刻度累积误差，都具有线 性系统误差的性质。
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原理：是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误 差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。 即：显著含有系统误差的测量列：其残余误差： Vi i ( i ) 式中： i ——随机误差
i ——系统误差
——系统误差的均值
条件：若系统误差显著地大于随机误差，即当 i i 时， i 可忽略 则残余误差 Vi i 根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行观察，可以判断 测量列中有无系统误差。 （1）若残余误差大体上是正负相间，且无显著变化规律，则认为无系统误 差。 例如图示（a） ：
1 i i 为零，说明恒定 n
对于恒定系统误差，上式第二项
系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影 响 对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系 统误差还会对标准偏差的估计产生影响
。
小结
恒定系统误差
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由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准 差，所以除了要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术 平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。 可变系统误差 由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数 据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其 对测量结果的影响。
二、系统误差产生的原因
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在测量过程中，影响测量偏离真值的所有误差因素中，只要是由确定性变 化规律的因素造成的，都可以归结为是系统误差的原因。系统误差产生的原因 从各种可能影响测量结果的要素中去寻找。系统误差是由固定不变的或按确定 规律变化的因素所造成。 （1） 测量装置方面的因素： 例：①仪器机构设计原理上的缺点。 ②仪器零件制造和安装不正确（如标尺的刻度偏差，刻度盘和指针的 安装偏心等） （2） 环境方面的因素： 例：①测量时的实际温度与标准温度的偏差； ②测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。 （3）测量方法的因素： 采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。 （3） 测量人员方面的因素： 由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向：动态 测量时，记录某一信号有滞后的倾向。 三、统误差的特征： 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或 者在条件改变时，误差按一定的规律变化，故多次测量同一量值时，系统误差 不具有抵偿性，这是系统误差与随机误差的本质区别。所说的系统误差的规律 性是有确定的前提条件的，研究系统误差的规律性应首先注意这一前提条件。 ①曲线 a 为不变的系统误差； ②曲线 b 为线性变化的系统误差； ③曲线 c 为非线性变化的系统误差； ④曲线 d 为周期性变化的系统误差； ⑤曲线 e 为复杂规律的系统误差。
R 的误差曲线为一抛物线（随温度变化的）
2）铂-铱米尺基准器在不同温度下的长度修正值可由下式表示：
Lt L0 t t 2
式中：Lt——米尺基准器在 t℃时的长度修正值， L0——米尺基准器在 0℃时的长度修正值， α 、β ——分别为一次及二次温度系数。 （四）周期性变化的系统误差 在整个测量过程中，若随着测量值或时间的变化，误差是按周期性规律变 化的，称为周期性变化的系统误差。 例：仪表指针的旋转中心与刻度盘中心有偏心 e ，则指针在任一转角 引起 的读数误差即为周期性系统误差。
表明系统误差一般不具有抵偿性，即 n i 0 系统误差会影响对算术平均值的估计 2. 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 测量数据的残余误差
i xi x x0 i i ( x0
1 1 i ) i ( i i ) n n
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如： 刻度为 1mm 的标准刻尺， 由于存在刻度误差 l ， 每一刻度间距的实际值为：
1 l mm ，若用它与另一长度比较，得到的比值为： L K 1 l mm ，若认
为该长度的实际值是 Kmm ，就产生了随测量值大小而变化的线性系统误差
Ll 。
（三）多项式变化的系统误差 非线性的系统误差可用多项式来描述它的非线性关系。例如： 1）电阻与温度的关系为：
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四、系统误差对测量结果的影响 1．影响测量最佳值的估计
设有一组常量测量数据 x1, x2 ,..., xn 中分别存在系统误差 1 , 2 ,..., n 和随 机误差 1 , 2 ,..., n ，真值记为 x0 则这组测量数据的算术平均值
x 1 1 1 1 ( x0 i i ) x0 i 系统误差的发现： （一）实验对比法： 改变产生系统误差的条件进行不同条件下的对比测量以发现系统误差，这 种方法适用发现不变的系统误差。其基本思想是改变产生系统误差的条件，进 行不同条件的测量。例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不一致，表 明至少有一种方法存在系统误差。还可采用仪器对比法、参量改变对比法，改 变实验条件对比法、改变实验操作人员对比法等，测量时可根据具体实验情况 选用。 ②理论分析法：主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求 的工作条件是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满 足，如果这些要求没有满足，则实验必有系统误差。 ③数据分析法：主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误 差观察法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、t 检验法、秩和检验法等方法。 （二）残余误差观察法： 用于发现有规律的系统误差，不能用于发现固定系差。
第四章
系统误差
教学目标测量过程中系统误差往往伴随着随机误差一起出现，但系统误差更
具有隐蔽性。本章讨论系统误差的来源、分类以及对测量结果的影响，发现和 检验系统误差的方法，以及消除系统误差的基本方法。
教学重点和难点 系统误差产生的原因 系统误差的特征 系统误差的发现 系统误差的统计检验 系统误差减少和消除的方法 第一节 系统误差概述
n （n 是偶数） 2 n 1 （n 是奇数） K 2
k n k k i 1 i 1 i 1 i 1 i k 1
vi vi i ( i )
i
n
i k 1
(
n
i
)
根据随机误差抵偿性，当 n 时 i 0
e sin
此误差的变化规律符合正弦曲线， 指针在 0º 和 180º 时误差为零， 而在 90º 和 270º 时误差最大，误差值为±e。 这一规律的前提是按顺时针或逆时针的顺次考察，否则测量误差将不具有 这一规律性；如当重复使用同一刻度进行测量时，由度盘偏心带入测量结果中
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的误差是固定不变的系统误差。而当随机地逐次取用任一刻度进行测量时，度 盘偏心引入测量结果的误差则不具有确定的规律性。 可见，在讨论误差的规律性时，前提条件具有关键性的意义。系统误差所 表现出的规律性，是在确定的测量条件下，系统误差因素所具有的确定规律性 的反映，因此，掌握误差因素对认识误差规律性来说至关重要。 掌握了系统误差的规律性，就可以为控制和消除系统误差提供依据。例如： 在度盘偏心误差的例子中， 根据误差 和转角 的正弦关系， 可采取相隔 180 两 次重复测量取平均值的方法消除这一误差。 当各刻度位置经检定确定了其误差值，则可利用修正的方法减小其影响。 （五）复杂规律变化的系统误差 复杂规律变化的系统误差。在整个测量过程中，若误差是按确定的且复杂 规律变化的，叫做复杂规律变化的系统误差。例如微安表的指针偏转角与偏转 力矩不能严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差等。
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vi vi 1
号也将出现周期性的正负号变化，因此由差值( vi vi 1 )可以判断是否存在周期 性系统误差，但是这种方法只有当周期性系统误差是整个测量误差的主要成分 时，才有实用效果。否则，差值(vi vi 1 )符号变化将主要取决于随机误差，以 致不能判断出周期性系统误差。 （四）阿贝—赫梅尼判据（用于发现周期性系统误差） 若有一等精度测量列，按测量的先后顺序将残余误差排列为：