第十七讲比例应用题在研究两个量之间的关系时， 经常用到和的关系、 差的关系以及倍数关系． 之前我们学 过的和差倍问题就是关于这些关系的． 而倍数关系还有一种比较常见的表现形式， 就是比的 关系．比如，甲有 3个苹果，乙有 2个苹果，我们可以说甲的苹果是乙的 1.5 倍，也可以说甲 和乙的苹果数之比是 3:2，读作 3 比 2．如果甲有 6 个苹果，乙有 4 个苹果，甲的苹果仍然 是乙的 1.5倍，甲和乙的苹果数之比是 6:4．我们发现， 比的关系和倍数关系可以如下转化：比的关系 由此可见， 比的概念与除法的概念密切相关， 我们定义： 两个数相除又叫做这两个数的比．在两个数的比中， 比号前面的数叫做比的 除以比的后项所得的商叫做 比值 ．例如：倍数关系 3 2 1.53:2 1.5倍6:4 6 4 1.51.5倍前项 ，比号后面的数叫做比的 后项 ，比的前项比的前项 比的后项3: 7 3 7 比值 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示．比号请你想一想： 比的前项、 后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？ 以是 0 吗？与除法和分数一样，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（ 变．利用这个性质，我们可以像约分一样，将比化简．比如6:4=3:2 比的后项可0 除外），比值不像这种表示两个比相等的式子叫做比例（式）．要判断两个比是否成比例，就要看它们 的比值是否相等．两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例．比例有四个项， 分别是两个 内项 和两个 外项 ．在 3:4=9:12 中，其中 3 与 12 叫做比例的 外项 ， 4与 9叫做比例的 内项．比例的四个数均不能为 0．在任意一个比例中， 两个外项的积等 于两个内项的积．即：1. 求比值：2:5 = _____ ；7:3 = ____ ；10:4= _____2.把比化成最简整数比：6:15 = _____ ；8:12= ______ ；0.2:0.5 = ____ ．3.如果3a 4b ，那么a:b=（）:（）；4.我国《国旗法》规定，国旗长宽之比为3:2，若国旗宽是128 厘米，则长是_______厘米．在表示两个量之间的关系时，可以用到和的关系、差的关系、倍数关系和分数倍关系．除了这些之外，比例也可以用来表示两个量之间的倍数关系．知道了两个量之间的比，我们可以方便的按照比例将两个对象的数量分配好，这也是本讲要重点学习的：按比例分配．例题1．（1）水果店运来了西瓜和哈密瓜共234 个．如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4，那么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？（2）阿呆和阿瓜一起去买包子，两人买的包子数之比是13:6．又知道阿呆比阿瓜多买了21个包子，那么两人一共买了多少个包子？「分析」根据比例设份数，比如西瓜和哈密瓜的个数比是5:4，那么可设西瓜有5 份，哈密瓜有4 份．（1）卡莉娅和萱萱一共买了50 块巧克力，卡莉娅的巧克力块数和萱萱的比是7:3，那么卡莉娅比萱萱多多少块巧克力？（2）小山羊和老山羊去吃草，小山羊和老山羊吃的草量比为5:9，并且老山羊比小山羊多吃了200 克的草，那么小山羊吃了多少克的草？例题 2．红旗小学共有师生 1081 人．其中老师与学生的人数之比为数之比为 5:4．请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？「分析」 如何通过师生的人数比求出学生的总人数？又如何利用男、各有多少？把这两个问题搞清楚了，本题也就解决了．512 名士兵分成龙、 虎两个营， 将龙营分成甲、 乙两个连， 再将乙连分成 A 、B 两个排． 如 果每次都按 5:3 的人数比来分，那么 A 排有多少名士兵？比例除了可以表示两个量之间的倍数关系， 还可以表示多个量之间的倍数关系． 我们把 两个数之间的比称为 简单比 ，多个数的比称为 连比 ．简单比与连比之间可以互相转化．如果甲 :乙=2:3，乙 :丙=5:4 ，那么甲 :乙:丙是多少？ 甲乙丙2 : 35 : 4甲:乙 :丙=10:15:1210 : 15 : 12 例题 3．机器人制造厂一月份与二月份生产机器人的个数比为 4:5．后来改进生产技术，三 月份生产的机器人的个数与二月份的产量之比为 5:3．（1）请写出三个月的产量的连比；（2）如果三月份比一月份多生产了 78 个机器人． 请问， 这家工厂第一季度共生产多少个机 器人？「分析」 题目中给出了两个比， 这两个比之间存在什么样的关系呢？你能通过这两个比求出 一月份、二月份和三月份这三个月产量的连比吗？育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆．第一批与第二批的人数比是 与第三批的人数比是 3:2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少 55 人．请问： 育才小学2:45，男生与女生的人 女比例，求出男、女生5:4，第二批五年级一共有多少人？对于数量发生变化的题，题目中比的每一份的含义往往也是不一样的，不能直接来计算．那么对于这类问题， 我们通常要从题中找到不变量， 根据它来统一份数．我们来看看下 面这道题，题中的量是如何变化的？你能找到其中的不变量吗？例题 4．慢羊羊村长开了一间学校， 招了好多小羊和小狼， 上学期小羊和小狼的数量比为 1:3， 新学期时又转来了 20只小羊， 导致开学的时候小羊和小狼的数量比变为 3:5，那么开学时一共有多少只小羊？「分析」 题目中也给出了两个比， 这两个比之间存在什么样的关系？我们能像例 1 那样， 把 上学期的小羊和小狼设成 1 份和 3 份，这学期的设成 3 份和 5 份吗？史蒂文森高中去年男生和女生的人数比为 5:3，今年转来了 200 名男生，使得女生和男 生的人数比变为 1:2，那么今年史蒂文森高中一共有多少名学生？例题 5．如下图，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是水面上、下的长度之比为 3:1，乙木棒在水面上、下的长度之比为下的长度之比为 2:3．请问：水深是多少厘米？「分析」 题目中的三个比涉及到了甲、 乙、 丙三根木棒的水上部分和水下部分， 它们之间有360 厘米．甲木棒在 4:3，丙木棒在水面上、公共的量吗？例题6．甲、乙两包糖的重量比是5:3 ，如果从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5．请问：这两包糖重量的总和是多少克？「分析」甲包少了10克，乙包多了10 克．什么没有变呢？黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用，在很多地方都可以发现黄金分割的存在。
1、1、2、3、5、8、⋯⋯，这个数列叫做斐波那契数列。
相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比。
黄金分割在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
下图是帕特农神庙，它的设计很多处都用到了黄金分割。
作业1. 王老师班上的男生和女生之比为7:5，如果班上有21 个男生，那么有多少个女生？作业2. 书架上有中文书和英文书，一共有20 本．其中中文书与英文书的数量比是2:3，那么中文书有多少本？作业 3. 青蛙王国共有青蛙900只．其中大青蛙与小青蛙的只数之比为17:28，小青蛙中，绿皮青蛙与其他青蛙的只数之比为3:1 ．那么小青蛙中的绿皮青蛙有多少只？作业 4. 花园里有玫瑰、百合还有兰花，其中玫瑰和百合的朵数之比为1:2，而百合和兰花的朵数之比为4:3，如果玫瑰比兰花少20 朵，那么玫瑰花有多少朵？作业5. 有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7:6．后来又有一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变成11:10．请问：后来报名的女生有多少人？第十七讲比例应用题例题1. 答案：（1）西瓜 130个，哈密瓜 104个．（2）57 详解：（1）234 5 4 26，26 5 130 ，26 4 104 ．（2）21 13 6 3，3 13 6 57 ．例题2. 答案：老师 46人，男生 575人，女生 460人详解：1081 2 45 23 ， 2 23 46 ，45 23 1035 ．1035 5 4 115 ， 5 115 575 ， 4 115 460 ．例题3. （1）12:15:25；（2）312详解：（ 1）将二月份的产量统一为 15 份，那么一月份的产量是 12份，三月份的产量是 25 份，三个月的产量之比是 12:15:25；（2）78 25 12 6， 6 12 15 25 312．例题4. 答案： 45只详解：注意到小狼的数量并没有发生变化，所以统一两次小狼的份数，将狼和羊的数量比化成 5:15 和 9:15．求出 1 份代表20 9 5 5 （只），那么开学时共有 5 9 45 只小羊．例题5. 答案： 45厘米详解：注意到三根木棒在水下的长度是一样的，将水下部分都统一为 3 份．三个比分别转化成 9:3、 4:3 和 2:3，1 份的长度为360 9 3 4 3 2 3 15 厘米，水下部分的长度是15 3 45 厘米．例题6. 答案： 240 详解：注意到甲、乙两包糖的重量之和没有变，统一成 24 份．两个比分别转化成 15:9 和14:10，可求出 1 份的重量为10 15 14 10 克，两包糖的重量总和为10 15 9 240 克．练习1. 答案：（1）20；（2）250 简答：参考例 1 即可．练习2. 答案： 75．简答：参考例 2 即可．练习3. 答案： 385简答：参考例 3 即可．练习4. 答案： 1800简答：注意到女生的人数没有变，统一女生的份数即可．作业1. 答案：15简答：21 7 5 15 ．作业2. 答案：8简答：20 2 3 2 8 ．作业3. 答案：420简答：首先可求出小青蛙有900 17 28 28 560 只．再求出绿皮青蛙有5601 3 3 420 只．作业4. 答案：40简答：首先可求出玫瑰、百合和兰花的朵数比是2:4:3，那么玫瑰与兰花的朵数比是2:3．玫瑰有20 3 2 2 40 朵．作业5. 答案： 12 简答：男生的人数没有变化过，一直都是429 6 7 7 231 人．那么后来男女生一共有231 11 11 10 441人，增加的 12 人就是后来报名的女生．。