微分方程的基本概念引言大家知道：高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数()f x ，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。

然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。

寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。

为此今天我们来学习微分方程的基本概念。

下面我们从一张图片开始来认识他们。

一、问题的提出我们注意到：歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。

因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成一般的数学问题：战机的安全着陆问题。

案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼二十，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。

对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。

解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻力为()kv t ，其中k 为阻力系数。

根据牛顿第二定律可得运动方程()dvmkv t kt dt =--，()dx v t dt= 从这个例子中，将这些等式和中学里我们所学的代数方程形式做比较，你有什么发现？二、微分方程的基本概念1、定义通过比较代数方程与微分方程，从代数方程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的方程称为常微分方程，简称为微分方程，记为()(,,,,)0'⋅⋅⋅=n F x y y y 。

例1：判断下列等式是否为微分方程。

(1) 0'+=xy y (2) 32()0'''-=y y(3) 2()0,t x dt xdx ++= (4) 2()2x x '=答案：(1) 是； (2) 是； (3) 是； (4) 否。

本质：是否含有未知函数的导数或微分是判断是否为微分方程的重要依据. 将这些方程与代数方程中“次数”的概念比较，得到如下概念： 2、微分方程的阶从代数方程按次（未知量的最高次数）分类得到微分方程按阶（未知函数导数的最高阶数）分类：一阶微分方程，二阶微分方程，......n 阶微分方程等。

例如：指出下列微分方程的阶数。

(1) 223d d x x t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2) 22d d sin d d y y b cy x x x ++=答案：(1) 1阶； (2) 2阶。

有了“阶”的概念之后，我们将从不同的角度对微分方程进行详细的分类。

3、分类分类1:根据微分方程的阶数一阶微分方程：(,,)0F x y y '= 或者(,).y f x y '= 高阶微分方程：()(,,,,)0n F x y y y '=L 或者()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=L分类2:根据自变量的个数常微分方程(ODE)：未知函数为一元函数。

例如：2d d x x t=，22d d sin d d y y bcy x x x ++=， 223d d x x t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2d d 0x y y x -= 偏微分方程(PDE)：未知函数为多元函数例如：222222(,,)u u uf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂分类3: 线性与非线性线性：在微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=L 中，F 对未知函数y 和它的各阶导数()',,n y y L 的全体而言是一次的。

例2 判断下列方程是否是线性的：（1）20;y x '-=（2）22()0;y x '-=（3）20;yy x '-=（4）20.xy x '-=答案：是，不是，不是，是。

前面的两个引例的解决过程事实上就是我们求解微分方程的过程，下面我们来介绍第三部分内容，也是我们本章的主要学习内容——微分方程的求解问题。

三、主要问题——求解微分方程从代数方程解的定义（使方程恒成立的数值）得到微分方程解的定义：使方程恒成立的函数。

1、微分方程的解:设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续, 且有直到n 阶的导数.如果把)(x y ϕ=代入方程()(,,,,)0n F x y y y '=L , 得到在区间I 上关于x 的恒等式,0))(,),(),(,()(≡'x x x x F n ϕϕϕΛ 则称)(x y ϕ=为方程()(,,,,)0n F x y y y '=L 在区间I 上的一个解.现在让我们再回到案例1，当战机的着陆初速度以及加速度都已知时，战机的滑跑距离又是什么情况的时候可以保证战机安全着陆呢？解：设战机着陆后t 秒钟后战机行驶了x 米，()x x t =则加速度22d xa dt =-， 从而两边积分得1dxat C dt=-+, 再两边积分，得21212x at C t C =-++条件：000,dxt x v dt===时，，从而1020C v C ==，,因此，从战机开始着陆到完全停下来共需时间0v t a=，战机在这段时间内行驶了200020()2 =vv a x v a av a=-⨯+⨯在这个问题的解决过程中，发现21212x t C t C a =-++,2012x at v t =-+,都满足微分方程22d sa dt=-，是微分方程的解。

怎么回事？下面给出以下概念：全部解：所有满足微分方程的函数的集合。

通解：相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相等的解。

特解：确定了通解中的任意常数的解。

初始条件：为确定通解中的任意常数而在微分方程中引入的条件。

例3：判断下列函数是否是方程dydx= （1）2(1)y x =+ （2）2()y x c =+（3）2{0,(1)}y y y x ==+解：（1），（2），（3）都是解，但（1）是特解，（2）是通解，（3）是全部解。

通过这个例子，我们对全部解，通解，特解的概念进行了区别，并且可以总结出三者之间的关系：特解⊂通解⊂全部解例4：验证：函数12cos sin ,cos x c kt c kt x kt =+=都是微分方程2220d xk x dt+=的解。

解：对cos x kt =关于t 求导,2sin ,cos x k kt x k kt '''=-=-,代入方程，22cos cos 0k kt k kt -+=从而也就验证了函数cos x kt =是方程2220d xk x dt+=的解。

对于12cos sin x c kt c kt =+同样来验证。

总结：求导 代入验证通过案例1，我们也找到一种求解微分方程的方法——两边积分求积分。

积分曲线——解)(x y y =所表达的曲线，为了便于研究方程解的性质, 我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.5)的一个特解)(x y ϕ=的图象是xoy 平面上的一条曲线, 称为方程(1.5)的积分曲线, 而通解),(C x y ϕ=的函数图象是平面上的一族曲线, 称为积分曲线族. 例如, 方程x dxdy2=的通解C x y +=2是xoy 平面上的一族抛物曲线.而2x y =是过点(0, 0)的一条积分曲线.以后, 为了叙述简便, 我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程, 也有积分曲线和积分曲线族的概念, 只不过此时积分曲线所在的空间维数不同.积分曲线方程——⎩⎨⎧==阶）（一阶）n c c c x y y c x y y n .)................,,(.....(.....),(21可分离变量的微分方程一. 实际问题在各种反装甲弹药中，穿甲弹无疑是历史最悠久、使用最广泛的反装甲弹药。

面对穿甲弹性能的不断提高，作为“盾”的一方——坦克的装甲——也变得越来越厚。

我国T －98式主要特点： 重量轻、装甲厚，具有多种自我伪装能力和自动灭火装置，战场生存能力强。

那么它的设计原理是什么呢？现在我们把它抽象为一般的数学问题加以研究。

案例 2 (坦克的装甲设计原理)已知质量为5kg 的某特种合金穿甲弹以900/m s 的速度射入我军阻力系数为41.510/kg s ⨯，车体防护能力相当于600毫米的均质钢装甲的T-98式主战坦克。

已知该穿甲弹所受阻力与速度成正比，问该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体？判断该型号该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体也就是要判断穿甲弹所走过的距离是否超过了车体防护能力的600mm,因此，我们要对穿甲弹的运动状态进行分析，根据牛顿第二定律有F ma =，其中F 是穿甲弹穿入车体时所受到的合力。

依题意，穿甲弹在车体中只受到车体的阻力()kv t -。

m 是穿甲弹的重量，a 是穿甲弹进入车体时的加速度，可以表示成dvdt。

这样便可建立运动方程。

解：设穿甲弹的质量为m ，从其射入时开始计时，则穿甲弹走过的距离为()x t ，运动速度为()v t ，根据牛顿第二定律可得运动方程()dvmkv t dt=-，满足初始条件0(0)v v =；又因为穿甲弹走过的距离为()x t 满足()dxv t dt=，这是两个一阶的微分方程，怎么解呢？对方程变形可以得到dv kdt v m=-，()dx v t dt =它的特点是变量,v t 分别位于等式的两边！对于具有这种特点的微分方程，我们给它一个名称，请看定义。

二．可分离变量微分方程的定义定义：设有一阶微分方程(,)dyF x y dx=，若(,)F x y 可以表示成()()g x h y ，即()()dyg x h y dx=。

则称其为可分离变量的微分方程。

对于这一定义，我们需要注意以下三点。

1. (),()g x h y 分别是x 和y 的连续函数；2. 方程的特点是形式上可以把因变量y 与自变量x 分离开；3. 当因变量与自变量符号改变时，仍然按照定义进行判断，如方 程()()dxg x h t dt=是可分离变量的微分方程。

接下来，请结合定义判断例5所举方程是否为可分离变量的微分方程。