§5.5 观测值的权之先验确定和方差分量估计
5.5.1 观测值的权之先验确定 权的一般概念
E () 0 2 2 1 DL D() 0 QL 0 PL
5.5.1 观测值的权之先验确定
1、对于同类、等精度的观测值 采用相同的权，且以观测值精 度作单位权中误差。
(1,2) 1 (3,2) 0 ( 4,3) 0 1 1 0 0 1 1 (1) 0 ( 2) 0 (3) 1 ( 4)
T T 1 T 1 2 2 2 1 2 B B 2 1 2 B B 1
2 01
{n 2tr[( N N G G ) N ]
T 1 2 1 2 B B 2
tr[( N N G G ) N ( N N G G ) N ]}
T 1 T 1 1 2 B B 2 1 2 B B 2
P 1 m P m
Si 2 2
则距离观测值的权：
Si
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
1、方差分量估计的计算公式 误差方程和 基准方程为：
ˆ 1 V AX ˆ 0 G X
T B
权阵为 P
其最小二乘解为：
ˆ ( A PA G G ) A PL X
T T 1 T B B
Q ( A PA G G ) A PA( A PA G G )
1 2
1
误差方程为：
V A ˆ V A X
1 1 2 2
l l
2

相应的最小二乘解为：
ˆ ( A P A A P A G G ) ( A Pl A P l ) X
T T T 1 T T 1 1 1 2 2 2 B B 1 1 1 2 2 2
( N N G G ) ( A Pl A P l )
T 1 T T 1 2 B B 1 1 1 2 2 2
Q ( N N G G ) ( N N )( N N G G )
T 1 T ˆ X 1 2 B B 1 2 1 2 B B
1
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
2 2
2 i
PS i

m
2 0 2 si
5.5.1 观测值的权之先验确定
3、对于不同类且不等精度的观测值 方向观测值的权： P
r

2 0 2
m
r 2 0 2
距离观测值的权： P
si

m
si
若选方向的权为单位权： P 1
r
m 则距离观测值的权： P m
si
2
r 2
Si
若选角度的权为单位权：
1
，顾及矩阵迹的性质：
tr (GH ) tr ( HG ),
tr (G H ) tr (G) tr ( H )
T 1 得：E (V1 T P V ) { n 2 tr [( N N G G ) N1 ] 1 1 1 1 2 B B
tr[( N N G G ) N ( N N G G ) N ]}
T T 1 T T T ˆ X B B B B
1
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
将观测值分成相互独立的两类，即：
P A L l L L , P ( P ), A ( A ), l l
1 1 1 2 2 2
1
2
V ,V V
2 1 T 1 T 01 1 1 1 1 2 B B 1 1 T 1 T 2 1 1 1 2 B B 2 2 02 2 2 2
(N N G G ) A
T 1 1 2 B B 2 1 01 1 1 1 2 T 1
T
1 T 1 T
[( P 2 A ( N N G G ) A
2 02
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
上述两式可转换成如下形式：
ˆ n tr(2 N N N N N N ) tr( N N N N ) tr( N N N N ) n tr(2 N N N N N N ) ˆ
2 1 1 1 1 1 01 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 02 2 1 2 2 2 2 1
V PV V PV
T 1 1 1 T 2 2 2
其中： N N N G G
1 2 B
T
2
B
若系数矩阵满秩，不需要再加基准方程，则：
N N1 N 2
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
2、验后权的计算步骤 a). 按先验中误差确定先验权阵P1和P2；
b). 平差求得V1TPV1和V2TPV2；
T 1 T T 1 1 1 2 B B 1 1 1 2 2 2 T 1 T 1 1 2 B B 1 1 1 1 1 1
1 T 1 T
[ A ( N N G G ) A P I ]l A ( N N G G ) A P l
2 B B 2
2 2
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
c). 按 2 式，估计方差分量的估值， d). 若两个分量相同，则先验权正确，否则重新定权；
ˆ ) (D ) I P (
(1) 2 (1) (1) 1 1 01 L1 (1) 2 (1) (1) 1 2 02 L2
n1 2 (1)
ˆ ) ( ˆ ) (D ) P ( P ˆ ) (
Dl1 DL1 P 协方差阵与权的关系： Dl2 DL2 P
D [ A (N N G G ) A P I ]
T 1 T V1 1 1 2 B B 1 1 1
2 1 01 1 2 1 02 2
P [P A (N N G G ) A I ] A ( N N G G ) A P P P A
随机向量V1的数学期望和方差为： E (V1 ) 0
且有性质：
T T 1 1 1 1 V1 1 1 1
DV1 E (V1V1T )
1 V1
E (V PV ) tr ( PD ) E (V ) PE (V ) tr ( PD )
将最小二乘解代入误差方程的第一式，得：
1
V A ( N N G G ) ( A Pl A P l ) l
角度 2 2 方向 2
D角度 角度 P角度
2
1
1 1 2 角度 2 0

1 2 1 2
1
0 1 2 1
5.5.1 观测值的权之先验确定
2、对于同类、不等精度的观测值
S
m
2 si
i
a b S a b Si
102ຫໍສະໝຸດ 34D角度
0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 D方向 2 1 方向 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 1 0 0 1
T 1 T 1 1 2 B B 1 1 2 B B 1
2 01
tr[( N N G G ) N ( N N G G ) N ]
T 1 T 1 1 2 B B 1 1 2 B B 2
2 02
同理，得：
E (V PV ) tr[( N N G G ) N ( N N G G ) N ]
01 2 (1) 02
(0)
2
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法
e). 求出新的权比后，迭代计算，直到满足下式为止。
ˆ ) ( 1 ˆ ) (
2 (k ) 01 2 (k ) 02
B B 1
A (N N G G ) N (N N G G ) A ]
T 1 T 1 1 2 B B 1 1 2 B B 1
A (N N G G ) N (N N G G ) A
2 T 1 T 1 02 1 1 2 B B 2 1 2 B B
T
1
5.5.2 赫尔默特方差分量估计法 将上式代入