5.7 向心力【学习目标】（1）知道什么是向心力，理解它是一种效果力。

（2）理解向心力公式的确切含义，并能用来进行简单的计算。

（3）知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果。

【学习重点】明确向心力的意义、作用、公式及其变形。

【知识要点】向心力1．定义：使物体做圆周运动，指向圆心的力。

2．研究内容：⑴向心力的方向与向心加速度的方向是否相同？⑵向心力的大小跟什么有关？与ω、ν之间什么关系？⑶向心力的大小怎么测量计算？⑷向心力有什么特点？⑸向心力的作用效果是怎样的？⑹向心力是不是合力？⑺向心力的来源？⑻向心力的施力物体是什么？⑼圆周运动的半径为何不变？⑽向心力与向心加速度的关系如何？3. 向心力演示器的结构和使用方法：（1）用质量比为2：1的钢球和铝球，使他们运动的半径r和相同，观察得到露出的红白相间方格数比值为2：1，即两个球所受向心力的比值也为2：1，因此F与m成正比。

（2）当m、相同时，半径比为2：1，向心力的比值也为2：1，因此F与r成正比。

（3）当m、r相同时，比值为2：1，向心力的比值为4；1，因此F与2成正比。

⑶由此验证向心力大小的公式：F＝mr24．匀速圆周运动：仅有向心加速度的运动。

变速圆周运动：同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动运动。

5. 圆周摆⑴分析圆锥摆中向心力的来源⑵用圆锥摆实验可以粗略去验证向心力表达式【问题探究】【问题1】什么情况下，物体做匀速圆周运动，什么情况是做变速圆周运动结论：匀速圆周运动：只有向心加速度时。

变速圆周运动：同时具有向心加速度和切向加速度时。

【问题2】向心力和切向力的作用效果?结论：向心力的作用效果：只改变速度的方向。

切向力的作用效果：改变速度的大小。

【问题3】研究一般曲线运动的方法：结论：曲线→小段圆弧→圆周运动，即利用微元法将曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看做一小段圆弧，然后进行研究。

【典型例题】［例1］如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ） A ．A 球的线速度必定大于B 球的线速度 B ．A 球的角速度必定小于B 球的线速度C ．A 球的运动周期必定小于B 球的运动周期D ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力【解析】小球A 和B 的受力情况如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G 和支持力F N 的合力，建立如图6.8－4所示的坐标系，则有：F N1＝F N sin θ＝mg F N2＝F N cos θ＝F 所以F ＝mg cot θ。

也就是说F N 在指向圆心方向的分力即合力F ＝mg cot θ提供小球做圆周运动所需的向心力，可见A 、B 两球的向心力大小相等。

比较两者线速度大小时，由F ＝m 2v r 可知：r 越大，v 一定较大，因此选项A 正确。

比较两者角速度大小时，由F ＝mr ω2可知：r 越大，ω一定较小，因此选项B 正确。

比较两者的运动周期时，由F ＝mr （2T π）2可知：r 越大，T 一定较大，因此选项C不正确。

由受力分析图可知，小球A 和B 受到的支持力F N 都等于sin mg θ，因此选项D 不正确。

【答案】 AB［例2］如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳子刚好被拉直（绳子的张力为零），物块和转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，求：⑴ 当转盘的角速度ω1时，细绳的拉力F 1；⑵ 当转盘的角速度ω2F 2。

【解析】 物块在随转盘做圆周运动，在角速度比较小的情况下，物块受到的静摩擦力提供其做圆周运动的向心力，随着角速度的增大，绳子的拉力将与摩擦力共同提供向心力，其临界状态为：2mg m r μω=所以当ω=⑴因为1ωω<10F N =⑵因为2ωω>，所以此时绳子的拉力222F mg m r μω+=得2220.5F m r mg mg ωμμ=-= ［例3］一根原长为l 0＝0.1m 的轻弹簧，一端拴住质量为m=0.5kg 的小球，以另一端为圆心在光滑的水平面上做匀速圆周运动，如图所示，角速度为ω＝10rad/s ，弹簧的劲度系数k=100N/m ，求小球做匀速圆周运动所受到的向心力。

【解析】小球做匀速圆周运动的圆心在O 点，设弹簧的伸长量为x ，则小球运动半径r=l 0+x 。

对小球受力分析，列式。

在水平面内，由向心力公式r m F 2ω=可得)(02x l m F +=ω（１）又根据胡克定律得kx F =（２）联立（１）、（２）两式可得图6－7－2N N k m ml F 10100105.01101.05.0122220=⨯-⨯⨯=-=ωω 【规律总结】1、向心加速度与线速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小。

向心力垂直于速度方向，永远不做功。

2、由于向心加速度的方向总是指向圆心，方向时刻在变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，同理向心力不是恒力而是变力。

3、向心力是根据力的效果来命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的分力，也可以是它们的合力。

4、在变速圆周运动中，线速度的大小和方向都在变，因而有两个加速度。

向心加速度指向圆心，改变线速度的方向；切向加速度沿圆弧切线方向，与线速度方向在一条直线上，用来改变速度的大小。

所以物体的加速度即向心加速度与切向加速度的矢量和不指向圆心。

5、向心加速度与向心力有瞬时对应关系：R f m R Tm R m R v m ma F 22222244ππω=====向 【当堂反馈】1．一个小球在竖直放置的光滑圆环内槽里做圆周运动，则关于小球加速度方向的描述正确的是 （ ）A ．一定指向圆心B ．一定不指向圆心C ．只在最高点和最低点时指向圆心D ．不能确定是否指向圆心解析：小球做的是变速圆周运动，通常既有向心加速度，又有切向加速度，其加速度不指向圆心，只有最高点和最低点例外，故选C 。

2．作匀速圆周运动的物体，其加速度的数值必定 （ ）A ．跟其角速度的平方成正比B ．跟其线速度的平方成正比C ．跟其运动的半径成反比D ．跟其运动的线速度和角速度的乘积成正比解析：匀速圆周运动物体的向心加速度可以写成V r rV a ωω＝＝＝22，故选项D 正确。

3．长度为L=0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m=3.0kg 的小球，如图6-7-16小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s ，g 取10m/s 2，则此时细杆OA 受到 （ ）A ．6.0N 的拉力B ．6.0N 的压力C ．24N 的拉力D ．24N 的压力 解析：设小球在最高点受到杆向下的拉力为F ，则有F+mg =rV m 2，由此代入数据得F=-6N ，由此可知小球受杆的支持力为6N ，杆受球压力为6N ，B 选项正确。

4．内壁光滑圆锥筒固定不动，其轴线竖直，如图6-7-17，两质量相同的小球A 和B 紧贴内壁分别在图示所在的水平面内做匀速圆周运动，则 （ ）A ．A 球的线速度必定大于B 球的线速度B ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力C ．A 球的角速度必定大于B 球的角速度D ．A 球的运动周期必定大于B 球的运动周期 解析：小球的重力与筒壁对小球的支持力的合力提供小球做圆周运动的向心力，由此可得小球的向心加速度为a=gcot α（α为轴线与筒壁夹角），即两球的加速度相等。

由V r rV a ωω＝＝＝22可知，正确选项为A 。

5．质量为m 的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中，如果由于摩擦力的作用，使得木块的速率不变，那么 （ ）Ａ．下滑过程中木块加速度为零 B ．下滑过程中木块所受合力大小不变C ．下滑过程中木块受合力为零D ．下滑过程中木块所受的合力越来越大解析：因小木块做匀速圆周运动，故小球受到的合外力即向心力大小不变，向心加速度大小不变，故选项B 正确。

6．水平面内放置一原长为L 的轻质弹簧，一端固定，另一端系一小球，当小球在该水平面内做半径为1.2L 的匀速圆周运动时，速率为V 1；当小球作半径为1.5L 的匀速圆周运动时，速率为V 2，若弹簧未超过弹性限度，求V 1和V 2 的比值。

解析：弹簧弹力提供小球做匀速圆周运动的向心力，设弹簧的劲度系数为k ，则有：k （1.2L-L ）=m LV 1.221 ……（1） k （1.5L-L ）=m L V 1.522 ……（2） 由（1）（2）可得：53221＝V V 。

图6-7-177．质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点及端点，当棒在光滑的水平面上绕O 点匀速转动时，如图6-7-18。

求棒的OA 段及AB 段对球的拉力之比。

解析：设OA 、AB 段拉力分别为F 1、F 2，长度分别为r 和2r ，则 有：F 1-F 2 = m ω2r ......（1） F 2=m ω2.2 r (2)由（1）（2）可得：2321＝F F 。

8．如图6-7-19所示，在固定光滑水平板上有一光滑小孔O ，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m=1kg 的小球A ，另一端连接质量M=4kg 的物体B 。

当A 球沿半径r=0.1m 的圆周做匀速圆周运动时，要使物体B 不离开地面，A 球做圆周运动的角速度有何限制？（g=10m/s 2）解析：由题意，小球A 做圆周运动的向心力应小于等于物体B的重力，由此得：Mg=m ω2r ，代入数据求得：ω=20 rad/s ，即A 球做圆周运动的角速度应小于等于20rad/s 。

拓展提高 9．如图6-7-20所示，轻杆长2L ，中点装在水平轴O 点，两端分别固定着小球A 和B ，A 、B 球质量分别为m 、2m ，整个装置在竖直平面内做圆周运动，当杆绕O 转动到某一时刻，A 球到达最高点，此时球A 与杆之间恰好无相互作用力，求此时O 轴所受力的大小和方向。

解析：设图示位置A.B 两球速率为V ，且杆对B 球的作用力为F ，即O 轴所受作用力为F ，则： 对A 球有：mg=L V m 2 …… （1） 对B 球有：F-2mg =2LV m 2…… （2） 由（1）（2）可求得：F=4mg 。

10．如图6-7-21所示，长为L 的细线一端悬于O 点，另一端连接一个质量为m 的小球，小球从A 点由静止开始摆下，当摆到A 点与最低点之间的某一位置C 点时，其速度大小为v ，此时悬线与竖直方向夹角为θ。

求小球在经过C 点时的切向加速度和向心加速度分别是多大？此时悬线对小球的拉力为多大？解析：小球在C 点时，速度大小为v ，圆周运动的轨道半径为L ，其重 力的切向分力为mgsin θ，故小球在C 点时的向心加速度为a ＝L V 2图6-7-18 图6-7-20图6-7-19B图6-7-21切向加速度为gsin θ。