研究工具-----模糊数学
•模糊集合论
1965 年,美国学者L.A. Zadeh 创建了模糊集合论, 提出了模糊信息的处理方法.模糊集合论的贡献在 于引入了集合中元素对该集合的“隶属度”,从而 将经典集合论里的特征函数取值范围由二值{0,1} 推广到区间[0,1],将经典二值逻辑推广至多值逻辑, 使得模糊性可以用[0,1]上的区间来度量。
云方法的定量描述
云方法提出用3 个数字特征(期望值, 熵, 超熵) 来描述 整个云团, 实现定性和定量之间的转换。由于多方面的 随机因素(天气、心理等等) 的影响, 射手很难每一次都 击中靶心, 其多次射击的弹着点在靶纸上呈近似正态分 布。因此, 用二维正态云模型( Ex1 , Ex2 ; En1 ,En2 ; He1 , He2) 来描述总的射击情况:
设U是一个用精确数值表示的定量论域（一维的、 二维的或多维的），C是U上的定性概念，对于 论域中的任意一个元素x，且x是定性概念C的一 次随机实现，x对C的确定度μ(x)∈[0,1]是有稳定 倾向的随机数
μ：U[0,1] ∨X∈U X μ(X) 则x在论域U上的分布称为云模型，简称为云。
每一个x称为一个云滴。
通常, 人们更习惯于用自然语言值而不是精确数值来评 价射手水平。-----云模型的提出
云模型的观点：----云理论研究者提出的云方法
射手射中或射不中带有随机性, 射中的程度又带有模糊性, 每次射击的弹着点可以看作是一个云滴, 射击若干次后形成的
云团的整体特征反映了射手总体水平。
用定性的语言来描述这些云团, 例如对上述三位射手的射击情 况, 可认为“射手甲略偏右上且不够稳定, 射手乙略偏右下但 较稳定, 丙的射点靠近靶心但不稳定”
广义概率论-----证据理论
信任函数和似然函数来描述命题的不确定性：
在基于概率的不确定性知识表示研究方面,Shortliff 等 人提出了带可信度的不确定推理,之,Dempster 和 Shafer 又提出证据理论,引入信任函数和似然函数来 描述命题的不确定性.证据理论满足比概率论弱的公 理,又称为广义概率论.
在云模型中,熵代表一个定性概念的可度量粒度,熵越大粒度越 大,可以用于粒度计算;同时,熵还表示在论域空间可以被定性概 念接受的取值范围,即模糊度,是定性概念亦此亦彼性的度量.
云模型中的超熵是不确定性状态变化的度量,即熵的熵.云模型 既反映代表定性概念值的样本出现的随机性,又反映了隶属程 度的不确定性,揭示了模糊性和随机性之间的关联.
四、云模型的一个射击实例
知识表示中的不确定性-------李德毅-中国工程科学2000 年10 月
三位学者: 统计学家、模糊学家和云理论研究者参加射击评判
统计学家观点及结论：
统计学方法认为, 射中与射不中有明确的定义, 是非此 即彼的, 不存在亦此亦彼的中间状态。用中与不中来衡 量每一次射击结果, 统计射手射击若干次后中靶的次数 (频数) 来反映射手的总体水平。
例如, 射手甲经过10 次射击, 9 次上靶, 一次跑靶, 则射 手的击中概率为0. 9 , 按照百分制计总成绩, 可为90 分, 射手乙和丙的十次射击全部上靶, 成绩都为100 分。因 此, 射手乙和丙的水平相当, 都优于甲。
模糊学家观点及结论：
模糊学家认为, 中与不中的是相对的, 取决于弹着点离靶心的距离, 难以明确一个边界对中与不中进行精确的划分, 这种亦此亦彼的 事件中所包含的不确定性, 称为模糊性。
云模型
-------定性定量转换模型 定性概念与定量描述一、不确定性的两种最基本的形式 随机性和模糊性
主要包括随机性、模糊性、不完全性、不稳定性和不一致性 这5 个方面。 1、随机性
随机性又称偶然性,是指因为事件发生的条件不充分,使 得条件与结果之间没有决定性的因果关系,在事件的出现与 否上表现出的不确定性质,可以用随机数学作为工具进行研 究. 概率论：随机性真正为人类所认识,要归功于前苏联数学家 柯尔莫哥洛夫.他在测度论基础上,于1933 年在其《概率论的 基本概念》一文中,首次提出并建立了概率论的公理化方法, 使得人们可以用数学的方法研究随机性,将“随机性”用 “概率”予以量化表示.借助于随机变量的分布函数,人们可 以研究随机现象的全部统计特征。 不确定性人工智能*---李德毅--软 件 学 报--2004,15(11)
二、云的数字特征
正态云模型用相互独立的一组参数共同表达一个定性概 念的数字特征, 反映概念的不确定性。在正态分布函 数与正态隶属函数基础上, 这组参数用期望Ex , 熵En , 超熵He 这3 个数字特征来表征：
期望Ex 在论域空间中最能够代表这个定性概念的 点, 是这个概念量化的最典型样本点。
熵En 代表一个定性概念的可度量粒度, 通常熵越大 概念越宏观。熵还反映了定性概念的不确定性, 表示 在论域空间可以被定性概念接受的取值范围大小, 即 模糊度, 是定性概念亦此亦彼性的度量。
期望值( Ex1 , Ex2) 是所有云滴(弹着点) 在靶纸上的平均点 的坐标, 反映了射手对准心的把握, 是最能代表射手水平的靶 位置;
熵( En1 , En2) 一方面反映弹着点的随机性, 即分别在水平和 垂直方向上相对于期望值的离散程度, 另一方面又体现了射 中的模糊性———隶属度;
超熵( He1 , He2) 反映了熵的离散程度, 可以称为二次熵(熵 的熵) , 体现了隶属度的不确定性。
超熵He 熵的不确定性的度量, 它反映代表定性概念 值的样本出现的随机性, 揭示了模糊性和随机性的关 联。
熵
熵：熵反映定性概念的不确定性，这种不确定 性表现在三个方面。 一方面，熵反映了在数域空间可以被语言值接 受的云滴群的范围的大小，即模糊度，是定性 概念亦此亦彼性的度量； 另一方面，熵还反映了在数域空间的云滴群能 够代表这个语言值的概率密度，表示代表定性 概念的云滴出现的随机性； 此外，熵还揭示了模糊性和随机性的关联性。 熵还可以用来代表一个定性概念的粒度。通常， 熵越大，概念越宏观，模糊性和随机性也越大， 确定性量化越难。
模糊集的扩充------粗糙集理论、 Vague 集理论
由Pawlak 提出的粗糙集理论,Gau和Buehrer 提出 的Vague 集理论,都是对模糊集的扩充.粗糙集通过 上下边界,Vague 集通过对模糊对象赋予真、假隶 属函数,来处理模糊性.
•人工智能对模糊性的研究方法
人工智能对模糊性的研究方法,通常是将原 有的精确知识的处理方法以各种方式模糊 化,如模糊谓词、模糊规则、模糊框架、模 糊语义网、模糊逻辑等等.模糊逻辑后来又 发展成为一种可能性推理方法,借助于可能 性度量与必然性度量,更好地处理模糊性。
评价比较
云方法评价分析
云方法通过逆向云发生器计算原靶图的数字特征, 再利用正向云发生器模拟生成不同数量的云滴, 大致还原出3 位射手的水平,数字特征更容易反映 出3 位射手的水平.图5(b)和图5(c)分别模拟还原 各射手10 个和100个弹着点的射击情况.
第2节 概念不确定的描述
一、云与云滴
首先，所有x ∈U 到区间[0,1]的映射是一对多的转换， x 对于T 的隶属度是一个概率分布而非固定值，从而 产生了云，而不是一条明晰的隶属曲线。 第二，云由许许多多的云滴组成，一个云滴是定性概 念在数量上的一次实现，单个云滴可能无足轻重，在 不同的时刻产生的云的细节可能不尽相同，但云的整 体形状反映了定性概念的基本特征。云滴的分布类似 天上的云，远看有明确的形状，近看没有确定的边界。 这就是我们用云来命名它的原因。 第三，云的数学期望曲线(Mathematical Expected Curve， MEC)从模糊集理论的观点来看是其隶属曲 线。 第四，云的“厚度”是不均匀的。腰部最分散，“厚 度”最大，而顶部和底部汇聚性好，“厚度”小。云 的厚度反映了隶属度的随机性的大小。靠近概念中心 或远离概念中心处，隶属度的随机性较小，而离概念 中心不近不远的位置隶属度的随机性大，这与人的主 观感受相一致。
因此在这个方向上发展着的模糊学本质上仍然是精 确数学的一个组成部分，我们不妨称之为模糊学的 精确理论。这正是当前模糊理论的不彻底性。
二、随机性和模糊性的关联性
随机数学、模糊数学各有特点。
例如,通过概率分布函数,随机数学可以很好地刻画随机现象的
统计特性,但是常用概率分布的前提条件过于严格。例如,常常
借助统计学的模糊学方法给出他们的总成绩分别为53 分、65 分 和68 分, 射手丙的成绩最优, 射手乙的成绩优于甲。这里的53 分、 65 分以及68 分与统计学家所给的90 分、100 分是不同的概念。
结论的评价
不确定性有两种: 随机性和模糊性。统计学和模糊学用 各自的方法认识客观世界, 形成不同的评价结果。
如果样本空间s =( e) 中的元素e 代表不同的弹着点, 把“肯定射 中”用数字1 表示, “肯定不中”用数字0 表示,则对样本空间中的 部分元素来说, 它们属于射中的程度可能不同, 用0 和1 之间的数 值来反映这种中介过渡性。
射中与射不中可以用弹着点对目标靶的隶属度表示。将目标从靶 心开始分为十个等级表示击中目标的程度, 依次为10 环、9 环、 ⋯、1 环, 跑靶为0 环, 对应的隶属度分别为1 ,0.9 , ⋯, 0.1 , 0 , 用 弹着点在靶纸上所处环数作为射击的成绩。射手的总体水平, 还 可以借助统计学, 采用公式S COR E = 环数之和。
要求影响随机现象结果的因素是几乎均匀而且独立的,随机变 量之间是不相关的,基本事件概率之和为1,样本趋于无穷等等.
模糊理论利用隶属函数精确刻画模糊现象的亦此亦彼性,却忽
略了隶属函数本身的不确定性.
这两种理论可以分别处理随机性和模糊性,没有考虑二者之间 的关联性.更何况,研究客观世界和主观世界中的不确定性也并 非总是要从这样的角度切入.
云的性质
1. 论域U可以是一维的，也可以是多维的。 2. 定义中提及的随机实现，是概率意义下的实现；定