常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】[例1] b ka a n n +=+1型。

（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1比较系数：b m km =- ∴1-=k b m∴}1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a∴11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴1)1(11--⋅-+=-k bk k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。

（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。

例：已知}{n a 满足11=a ，)1(11+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

解：∵111)1(11+-=+=-+n n n n a a n n∴n n a a n n 1111--=-- 112121---=---n n a a n n213132---=---n n a a n n ……312123-=-a a 21112-=-a a对这（1-n ）个式子求和得：n a a n 111-=- ∴ n a n 12-=（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a∴B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）nq n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q a n n n n 111+⋅=++ 令n n n q a C =则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型[例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：311=a ，11212-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。

解：1235375325212321212122332211+=⋅--⋅--⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴1211231+=+⋅=n n a a n[例4]11--+⋅⋅=n n n a m a m k a 型。

考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n+=- ∴ m k a k a n n +⋅=-111 令n n a C 1=则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。

练习：1. 已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。

解：设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列∴ 1241-⋅=+n n a ∴121-=+n n a 2. 已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*N n ∈）求通项公式。

解：)1(21-=--n a a n n )2(221-=---n a a n n )3(232-=---n a a n n …… 2223⨯=-a a1212⨯=-+a an n n a a n -=-+++=-21)]1(21[2Λ∴12--=n n a n 3. 已知}{n a 中，nn a n na 21+=+且21=a 求数列通项公式。

解：)1(231422413211122332211+=⋅--⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ∴ )1(21+=n n a a n ∴ )1(4+=n n a n 4. 数列}{n a 中，n n nn n a a a +⋅=+++11122，21=a ，求}{n a 的通项。

解：n n n n n a a a 111221++++= ∴ 112111+++=n n n a a设n n a b 1=∴ 1121+++=n n n b b ∴ nn n b b 211+=-∴n n n b b 211=-- 12121---=-n n n b b 23221---=-n n n b b ……32321=-b b21221=-+b b n n b b 212121321+++=-Λnn 2121211])21(1[2112-=--=- ∴ nn n n b 212212121-=+-= ∴122-=nnn a5. 已知：11=a ，2≥n 时，12211-+=-n a a n n ，求}{n a 的通项公式。

解：设])1([211B n A a B An a n n +-+=++- B A An a a n n 212121211---=-∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-12121221B A A 解得：⎩⎨⎧=-=64B A ∴ 3641=+-a ∴ }64{+-n a n 是以3为首项，21为公比的等比数列 ∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a ∴ 64231-+=-n a n n【模拟试题】1. 已知}{n a 中，31=a ，nn n a a 21+=+，求n a 。

2. 已知}{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。

3. 已知}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。

4. 已知}{n a 中，41=a ，144--=n n a a （2≥n ）求n a 。

5. 已知}{n a 中，11=a ，其前n 项和n S 与n a 满足1222-=n nn S S a （2≥n ） （1）求证：}1{n S 为等差数列 （2）求}{n a 的通项公式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2)2(81+=nn a S（1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021-=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小值【试题答案】1. 解：由n n n a a 21+=+，得112--+=n n n a a ∴ 112--=-n n n a a2212---=-n n n a a ……212=-+a a∴ 2221)21(211-=--=--n n n a a ∴12221+=+-=nn n a a 2. 解：由231+=-n n a a 得：)1(311+=+-n n a a∴ 3111=++-n n a a 即}1{+n a 是等比数列113)1(1-⋅+=+n n a a ∴ 13213)1(111-⋅=-⋅+=--n n n a a3. 解：由nn n a a 221+=-得12211=---n n n n a a∴ }2{n n a 成等差数列，)1(212-+=n a n n ∴ 122--⋅=n n n n a4. 解：nn n n a a a a )2(24221-=-=-+ ∴ 2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a （1≥n ） ∴ 2121211=---+n n a a （1≥n ）设21-=n n a b即)1(211≥=-+n b b n n∴ }{n b 是等差数列 ∴ 221)1(21211n n a a n =⋅-+-=- 22+=n a n5. 解：（1）12221-=--n n n n S S S S ∴ 112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ∴ }1{n S 是首项为1，公差为2的等差数列 ∴ 121-=n S n（2）121-=n S n ∴ )2(384211212)121(222≥+--=--⋅-=n n n n n a n又 ∵ 11=a ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+--==)2(3842112n n n n a n6. 解：（1）2111)2(81+==a S a ∴ 21=a2≥n 时，2121)2(81)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a整理得：0)4)((11=--+--n n n n a a a a∵ }{n a 是正整数数列 ∴ 01≠+-n n a a ∴ 41=--n n a a ∴ }{n a 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 24-=n a n（2）31230)24(21-=--=n n b n∴ }{n b 为等差数列 ∴n n S n 302-= ∴ 当15=n 时，n S 的最小值为2251530152-=⨯-如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。