第一节 概 率
一、基本概念
1．随机试验 其结果在事先不能确定的试验。 具有三个特性：
（1）可以在相同的条件下重复进行；
（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果；
（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。
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2．样本空间 3．随机事件
随机试验所有可能结果的集合， 记为。其中每一个结果，称 为样本点 。
离散型
随机变量X的可能取值仅有有限
随机变量 个或可列无穷多个。
设 xk (k 1,2,) 是离散型随机变量X的
所有可能的取值， pk 是 xk 的概率：
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为X的概率分布或分布率 。且满足
pk 0
pk 1
k 1
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3．分布密度
连续型 随机变量
3 P(E c ) 1 P(E)
4
设
E1，E2，，En n
两两互不相容 ，则
n
P（ Ei） P（Ei )
5
i 1
i 1
设两两互不相容的事件
E1，E2，， Ei
则对于任意事件A，有
i1
P（A） P（A Ei ) 首页
i 1
三、概率的连续性
1．极限事件
对于事件 E1，E2，，
若 En En1 n 1 则称事件序列 {En，n 1} 递增 ，
则称
P（B
|
A）
P（AB） P（A）
为事件A出现的情况下，事件B的条件概率， 或简称事件B关于事件A的条件概率。
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2．基本公式
定理2（乘法公式）
假设 A1，A2，，An为任意n个事件（ n 2），
若 P（A1 A2 An） 0
则
P（A1 A2 An） P( A1)P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
n
n
P( Ai ) 1
1 P( Ai )
i 1
i 1
首页
n
n
P( Ai ) 1
1 P( Ai )
i 1
i 1
证
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
n
1 P( Ai )
i 1
n
1 P( Ai ) i 1
返回
n
1 (1 P( Ai )) i 1
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第二节 随机变量及其分布
分布函数F（x）具有下列性质：
1
0 F(x) 1 x
2
F(x) 是非降函数，即当 x1 x2 时，有
F (x1 ) F (x2 )
3
lim F(x) 0 lim F(x) 1
x
x
4
F（x）是右连续的，即 F(x 0) F(x)
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3．分布密度
最常见的随机变量是离散型和连续型两种。
P（lim n
En
)
证明 设 {En，n 1}是递增序列，并定义事件Fn ：
n1
F1 E1
Fn
En (
Ei )c
En
Ec n1
n 1
i1
即 Fn 由包含在 En 中但不在任何
前面的 Ei （i n ）中的点组成。 F3 F2 F1 E1
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容易验证 Fn（ n 1）是互不相交的事件， 且满足
如果对于随机变量X的分布函数为F（x）， 存在非负的函数f（x）,使对任意的实数x 有
x
F (x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密 度，且满足
P（Bi）P（A | Bi )
n
P（Bi）P（A | Bi )
i 1
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五、独立性
1．定义
两个 如果事件A，B满足
P（AB） P（A）P（B）
则称事件A，B相互独立。
n个 设 A1，A2，，An 是n个事件，如果对于任意
s (2 s n) 和 1 i1 i2 is n ，有
P（Ai1 Ai2 Ais） P（Ai1）P（Ai2）P（Ais）
一、一维随机变量的分布
1．随机变量
设随机试验的样本空间为 ，如果对于每一 个 都有唯一的一个实数 X (与)之对应，这 种对应关系称为一个随机变量，记作 X (或)X。
2．分布函数
随机变量X取值不超过x的概率 P(X x) ，
称为X的分布函数（其中x为任意实数），记为
F(x) 即 F(x) P(X x) x 首页
P（An
|
A1
A2
An
）
1
首页
定理3（全概率公式与贝叶斯公式）
n
设事件 B1，B2，，Bn 两两互不相容， Bi i 1 P（Bi） 0 i 1，2，, n
则（1）对任意事件A，有
n
P( A) P（Bi）P（A | Bi ) i 1
（2）对任意事件A ，若P（A） 0 ，有
P(Bi | A)
则称事件 A1，A2，，An 相互独立。
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2．独立性的性质
定理4 若事件A，B相互独立，则 A与B ；A与A2，，An 相互独立，若其中
任意 m (1 m n)个事件相应地换成它们的
对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。
推论 若事件 A1，A2，，An相互独立，则
n
n
Fi Ei
i1
i1
和 Fi Ei
i 1
i 1
于是
P（ Ei） P（ Fi）
i 1
i 1
P（Fi )
i 1
n
lim
n
i 1
P（Fi
)
n
n
lim
n
P(
i1
Fi
)
lim
n
P(
i 1
Ei
)
lim
n
P(En
)
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四、条件概率
1．定义 设E为随机试验，为其样本空间，A、B
为任意两个事件， 若 P（A） 0
若 En En1 n 1 则称事件序列 {En，n 1} 递减。
这样可定义一个新的事件，记为
lim
n
En
lim
n
En
Ei i 1
En En1 n 1
lim
n
En
Ei
i1
En En1 n 1
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2．连续性定理
定理 1 若{En，n 1} 是递增的或递减的事件序列，
则
lim
n
P（En）
样本空间的一个子集E。
4．概 率
对样本空间的每一个事件E，都有 一实数P（E）与之对应，且满足：
（1） 0 P（E） 1 （2） P（） 1
（3）对两两互不相容的事件序列
E1，E
，
2
P（ Ei） P（Ei )
i 1
i 1
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则称P（E）为事件E的概率。
二、概率的性质：
1 P（） 0 2 P（E F） P（E） P（F） P（EF）
------金融资产定价之应用
基础知识
基本概念
马尔可夫过程 随机分析
随机 过程
鞅和鞅表示 平稳过程
基础资产价格
衍生产品定价
Ito定理
维纳过程
第一章 基 础 知 识
第一节 概 率 第二节 随机变量及其分布 第三节 随机变量的数字特征 第四节 矩母函数和特征函数 第五节 条件期望 第六节 指数分布 第七节 收敛性和极限定理