非线性系统分析习题第2章2-1 电路如题图2-1所示,若11tanh 2u i =,22322i i +=ψ,33ln u q =,试讨论对下列各组变量:(1)2i 和3u ;(2)2i 和3q ;(3)2ψ和3u ;(4)2ψ和3q ;是否存在标准形式的状态方程?若存在,请导出该状态方程。
题图 2-12i 和3u 存在标准状态方程3233212222))2(tan (231dt u i dtdu u i u i i di s =--+=-2-2 题图2-2所示电路,非线性电阻的特性为:22223R R R u u i -=,试导出电路的状态方程。
题图 2-2L C C L C C L C L s C i LR u L u L dt di u u C i C du i C i C du 22122222211111)3(11dt 11dt --=--=-= 2-3 试确定下列函数是否满足全局Lipschitz 条件 (1)2211212()[2]T f x x x x x x =--可能不满足 (2)222112()[]x x T f x x e x e --=满足2-4 Van der pol 方程可以用状态方程描述为1222112(1)x x xx x x ε=⎧⎨=-+-⎩ 试证明,任取初始条件1020x x ,,对于某些充分小的δ,状态方程在[0]δ上有唯一解。
2-5 考虑标量微分方程0tan(()),(0)xx t x x ==试证明微分方程对于任意0x ,在区间[0,)∞上具有唯一解。
2-6 已知非线性系统的状态方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t te x x x x x t dt dx dt dx 22212131213tanh 43试判断该状态方程是否有唯一解。
当00,0t t t ≥>时有唯一解 2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=dxy by dt dy cxy ax dt dx (0,0) (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=2222y x y x dt dy y x x y dtdx (0,0)(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3x x dt dy y dtdx(0,0);(1,0);(-1,0)(4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1sin 2x dtdy y dtdx,2,1,0),1();k 1±±=-k k ππ,((5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=+31dy by dtdy e dtdx yx (0,0);0,0db)d b,d b ();d b ,d b (≠>--d第3章3-1 分别取5.0=ε,2=ε,用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。
设初值为:(1)3)0(,3)0(-==xx ;(2)1)0(,0)0(-==x x ;(3) 3)0(,3.2)0(=-=x x 。
3-2 用liénard 作图法绘出5.0=ε时,范德坡方程初值为3)0(,3)0(-==xx 的轨线。
3-3 试证明在ε<m 时,范德坡方程的等倾线包含3个分支。
3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型,并定性作出相图。
(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3212; 稳定结点 (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 2223;鞍点 (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3212 ; 不稳定结点 (4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3001; 稳定结点 (5)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3002; 鞍点 (6)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 1224; 非初等奇点,轨线趋于奇线 (7)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 2412; 非初等奇点,轨线平行于奇线(8)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 3002; 不稳定结点 (9)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 0210; 中心 (10) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x dt dy dt dx 1331 不稳定焦点 3-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统,并决定该平衡点的类型。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=xy y dtdy xy x dtdx平衡点(0,0)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y dt dy x dt dx鞍点 (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=2222y x y x dt dy y x x y dtdx平衡点(0,0)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x dtdy y dt dx中心、焦点或中心焦点之一 (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3x x dtdy y dt dx 平衡点(0,0),⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==xdt dy y dt dx 鞍点(1,0),(-1,0)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-=∆∆=∆x dty d y dt xd 中心、焦点或中心焦点之一 (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+21y y dtdy e dt dx y x 平衡点(0,0)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y dt dy y x dt dx 不稳定退化结点3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环,如存在极限环,通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。
(1)22121122221212(1)(1)x x x x x xx x x x ⎧=+--⎪⎨=-+--⎪⎩ 2(1)1rr r θ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ,存在稳定的极限环1=r (2)22121122212222121222121(1)sin()11(1)sin()1x x x x x x x x x x x x x x ⎧=---⎪+-⎪⎨⎪=----⎪+-⎩11sin )1(22---=r r r r 存在半稳定的极限环(3) 2112211,xx x x x =-=不存在极限环 (4)12121cos(),sin x x x x x == 不存在第4章4-1 试对二阶自治系统的各类平衡点,按Lyapunov 稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类。
4-2 试判断下面的每一个函数是否为:(1)局部正定函数;(2)正定函数;(3)半正定函数;(4)不定函数。
(1)421212(,)V x x x x =+; 正定函数(2)22212112(,)2V x x x x x =-;局部正定函数(2< (3)221212(,)sin()V x x x x =+; 局部正定函数22120x x π≤+<()(4)221212212(,)1+x x V x x x +=;正定函数(5)12122(,)xV x x x e = 半正定函数4-3 试讨论下列系统原点的稳定性,指出它们是否稳定;如果稳定,是否全局的。
(1)222111,x xx x x x -=+-= ;局部渐近稳定 (2))1(),1(22212122221121x x x x xx x x x x---=----= ;局部渐近稳定(设222121),(x x x x V +=)(3))3(cos )(sin -28275x x x x x x x=++ ;不稳定,利用首次近似 (4))1(,sin 222111t x xt x x x+-=--= ; 4-4 考虑系统3221222112,2x x x xx x x+=+-= 预选V 函数为222121),(x x x x V -=,证明平衡点(0,0)是不稳定的。
4-5 某非线性电路的状态方程为212231113,x x xx x x x -=+-= (1) 求系统的所有平衡点;(0,0),(2,6)(-2,-6)(2) 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性;(0,0)不稳定;(2,6),稳定;(-2,-6);稳定(3) 利用二次Lyapunov 函数,估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域,并尽可能极大化吸引域(提示:对每个渐近稳定的平衡点,将坐标原点平移到平衡点处,然后进行分析);(4) 绘出系统的相轨迹和前列分析对比。
4-6 试证明:如果存在对称矩阵P 和Q 使得Q P PA P A T-=++λ2则A 的所有特征值的实部均小于λ-。
4-7 考虑一个二阶系统⎩⎨⎧+-=++=u x x x u x sat x x x 21222211sin )2(-3其中sat 函数定义为⎪⎩⎪⎨⎧><=1)(1)(σσσσσsign sat当0=u 时,试采用平衡点(0,0)处的线性化系统证明系统是局部不稳定的; 4-8 通信网络锁相环回路方程可描述为[c o s ()]s i n ()y a b y y c y +++= (1) 取12=,x y x y= ,试导出状态方程; (2) 设0c >,取预选Lyapunov 函数为22121(,)(1cos )2x V x x c x =-+,证明:如果0a b ≥≥,平衡点(0,0)是稳定的;如果0a b >≥,平衡点(0,0)是渐近稳定的(提示:应用Lasalle 定理)。