第二节电场和电场强度
【知识要点】
从电场的观点看，电荷间的相互作用可分为两个基本问题：电荷产生电场和电场对电荷的作用．
电场强度，简称场强，是指放人电场中某一点电荷受到的电场力 F 跟它的电量q 的比值．数学表达式为
q为检验电荷， F 为q在场中受到的力．场强的方向规定为正电荷的受力方向．
只要有电荷存在，在电荷的周围就存在着电场．静止电荷在其周围的真空中产生电场，叫静电场，该电荷称为真空中静电场的场源电荷，电场对放人场中的电荷有力的作用．
在点电荷组成的电场里、任一点的场强等于各个点电荷单独存在时各自在该点产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理．
几种典型电场的场强：
( 1 ）点电荷电场：由场强的定义和库仑定律可得，真空中点电荷的场
强分布为
( 2 ）均匀带电球壳的电场设有带电量为Q ，半径为R 的均匀带电球壳．由电场线的分布可知，只要球壳内没有电荷，壳内就没有电场线分布，即内部的场强 E 内为0
对于球壳外，电场线分布与点电荷Q 在球心处的电场线一样．因此
壳外的场强 E 外为
( 3 ）匀强电场
设有电荷面密度为δ的无限大带电平板，求其两侧的场强．根据场强叠加原理，空间某一点的场强，应是板上所有点电荷在该点产生场的叠加．由于平板是无穷大，根据对称性，板两侧的电场方向如图9
一 2 一 1 所示，且是匀强电场，但用叠加原理求场强的
大小要用到高等数学．
下面我们用不很严密的方法介绍一个定理，并根据它
求上述场强，先考虑点电荷，设一电量为Q 的点电荷，
则空间的场分布为
现取以Q 为球心，R 为半径作一球面，则Q 发出的电场线全部穿过这个面．像这样穿过一个面的电场线总数叫做穿过这个面的电通量，用
符号Φ表示．对于点电荷
由上式可知电通量与所取的面无关，即取任一面，只要这个面内包含Q ，通过此面的电通量为4πkQ .
推论 1 若所取的面不包含Q ，则通过此面的电通量为零．
推论 2 通过任意一个闭合曲线的电通量等于该面所包围的电荷电量的代数和的4 π倍．
推论2通常叫高斯定理，利用高斯定理可以很方便地求出许多对称场的场强分布．如无限大平板，我们可以取关于板对称的圆柱体面，如图所示，设圆柱面的横截面半径为r ，高为l ，则
因此，电荷面密度为，的无限大带电平板两侧的场强为 E = 2πkδ
【例题分析】
例 1 如图9 一 2 论所示，电荷均匀分布在半球面上，
它在这半球面的中心O 处的电场强度等于E0，( l ）证明
半球面底部的平面是等势面；( 2 ）两个平面通过同一直径，
夹角为 a ，从半球中分出一部分球面．试求所分出的这部分球面上的电荷在O 处的电场强度 E .
分析与解
（l ）证明一个平面是等势面一般有以下两条思路： a ．根据电势叠加原理求出各点的电势，判断是否相等； b ．根据场强叠加原理求出各点的场强，判断场强方向是否垂直平面．
设想有另一个完全相同的半球面与此半球面构成完整的球壳，则球壳及其内部各点电势都相等．根据对称性可知上、下两个半球壳分别在底面上各点引起的电势是相等的，再由电势叠加原理可知，当只有半球壳存在时，半球壳在底面上各点引起的电势也是相等的，而且电势是两个球壳的一半．场强是矢量，场强叠加比电势叠加要复杂．此题直接在底面上计算场强较困难．我们可用反证法来说明场强方向一定垂直底面．假
定半球壳在底面产生的场强不垂直底面，则当把半球壳补完
整时，两半球壳在底面产生的合场强也不垂直底面，这与球
壳是等势体相矛盾．因此，假设不成立．
( 2 ）由对称可知，E0的方向如图9 一 2 一 3 所示，
同样我们可知分出两部分的电场强度E1、E2，由矢量图可
得
评析原则上，根据电势叠加原理和场强叠加原理可求，已知电荷分布的任何电场的电势和场强，但在实际处理问题时，通采用等效、填补等办法更有效．
例 2 均匀带电的半径为R 的球，电荷的体密度为ρ．以O1 为球心挖去半径为R1的小球．求球空腔部分的电场强度．
分析与解
利用点电荷的场强公式，根据场强叠加原理求空腔内的场强较困难，要用到高等数学知识．现在可设想是电荷的体密度为ρ，半径
为R 的完整的球再在空腔的位置叠加上电荷的体密度为一
ρ，半径为Rl 的小球．则就空腔中的场强而言是等效的．而
电荷分布均匀的球内的场分布，由高斯定律可求得为
其中 a 的大小为O 到O1的距离，方向为O 指向
O1．如图9 一 2 一 5 所示，球腔内的场强为匀强电场．
【巩固习题】
1 ．等边三角形ABC 的边长为 a ，在它的顶点 B 和 C 上各有电量为Q > 0 的点电荷．试求三角形中心O 处场强 E 的大小和方向．
2 ．半径为R 的圆环上均匀带电，总电量Q > 0 ．试求与环平面垂直，且通过圆心的中央轴线上的场强分布．
3 ．如图9 一 2 一 6 所示，在半径为R 的大球中，挖去半径为R / 2 的小球，小球与大球内切，大球余下的部分均匀带电，总电量为Q试求距大球球心O 点r 处（r > R ）P点的场强．已知OP连线经过小球球心．
4 ．一无限长均匀带电细线弯成如图9 一 2 一7 所示的平面图形，其中AB 是半圆弧，AA ’和BB ’是两平行直线， A ‘和B’向右端无限延伸．试求圆心O 处的电场强度．
5 ．求无限长均匀带电直线的场强．已知直线的电荷线密度为λ．
6 ．如图9 一 2 一8 所示，一 d ≤x ≤ d 的空间区域内分布着电荷体密度为ρ的正电荷，在x > d 和x ＜一 d 的区域为真空，若在x =2 d 处将一质量为m ，电量为一q ( q > 0 ）的带电粒子从静止开始释放，问经过多长时间此带电粒子刚好穿越带电空间区域．。