能力升级练(十三)函数及其应用、选择题1. 函数y= —的定义域为()C.(1,+ g)2. 设函数f (x) =x(e X+a e-X)( x€ R)是偶函数,则实数a的值为()解析设g(x)=x,h(x)=e X+a e-X,因为函数g(x) =x是奇函数，则由题意知，函数h(x)=e X+a e-X为奇函数，又函数f (x)的定义域为R,所以h(0) =0,解得a=-1.故选A.答案A3. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()解析要使函数有意义需满足解得-VXV1.故选A.A.-1B.-2C.-3D.-4u (1, +g)解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等，因圆锥下面窄上面宽，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图象应越来越平缓故选B.答案B4. （2019贵州贵阳模拟）20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M其计算公式为M=g A-lg A其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的（）A.10 倍B.20 倍C.50 倍D.100 倍解析根据题意有lg A=g A+lg10 M=lg( A)• 10$ .所以A=A • 10：则---- =100.故选D答案D5. 设x, y,z 为正数，且2x=3y=5z,则（）A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z解析设2x=3y=5z=k(k>1),贝U x=log 2k, y=log 3 k, z=log 5k,所以2x<5z.②由①②，得3y<2x<5z.故选D答案D6.函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数 x i , X 2( X i <X 2),都有X 2f (X i )>X i f (X 2),记c=--f (-3),则a , b , c 之间的大小关系为C.c>b>aD.a>c>b解析因为对任意两个正数X 1, X 2(X 1<X 2),都有X 2f ( X 1) >X 1f ( X 2),所以一 一,得函数g ( x )—在(0,+8 )上是减函数,又 c=--f (-3)=-f (3),所以 g (1) >g (2) >g (3),即 b>a>c 故选 B.答案B7. (2018全国m ,文9)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为所以-—>1,即 2x>3y.①<1,a=f (2), b=f (i), A.a>b>cB. b>a>c所以x 2=-,即x=± 一时，函数y=-x 4+x 2+2有最大值，所以排除选项 C.方法二：当x=0时,y=2>0,所以可以排除选项 A 和B,当x=-时，y —>2,所以排除选项 C&已知函数f (x) --------------- 的最大值为 M 最小值为m 则M+n 等于( )设 g (x ) =因为g ( -x ) =-g (x ),所以g ( x )为奇函数, 所以 g ( x ) max +g ( x ) min =0.因为 M=* x ) ma>=2+g (x ) max , m=1( X ) min =2+g (x ) min , 所以 M + m=+g ( x ) max +2+g ( x ) min =4.答案C9.已知函数f (x )=与g (x )=x 3+t ,若f (x )与g ( x )的交点在直线y=x 的两侧，则实数t 的取值范围是( )解析当x=0时，y=2>0,排除A,B;当x=-时，y=--+2>2.排除C.故选D.答案D光速解题排除法：方法:当x T +R 时，厂-^,所以可以排除选项 A.0 B.2 C.4 D.8解析f (x ) ==2+——A 和 B,y=-x 4+x 2+2=-A.( -6,0]C.(4, +s ) 解析根据题意可以得函数图象.g (x )在x=2处的取值大于2,在点x=-2处的取值小于-2,可得33g (2) =2 +t=8+t>2, g (-2) =(-2) +t=- 8+t<- 2,解得 t € (-6,6).答案B_ . . _ x10. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且x>0时,f (x ) =ln x-x+1,则函数g (x )=f (x ) -e (e 为自然对 数的底数)的零点个数是()解析当 x>0 时,f (x )=ln x-x+1,f (x )二-仁一,所以 x € (0,1)时 f' (x )>0,此时f (x )单调递增;x € (1,+s )时,f' (x ) <0，此时f (x )单调递减.因此,当x>0时，f (x )max =f (1)=ln1 -1+1=0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数 y=f (x )与y=e x 的大致图象如图所示，观察到 函数y=f (x )与y=e x 的图象有两个交点，所以函数g (x ) =f (x ) -e x (e 为自然对数的底数)有2个零点.答案CD.(-4,4)A.0B.1C.2D.311. (2019广东惠州第一次调研)已知函数y=f (x )的定义域为R,且满足下列三个条件①对任意的x i , X 2 € ［4,8］,当X i <X 2时，都有 —>0恒成立；② f (x+4) =-f (x );③ y=f (x+4)是偶函数.若a=f (6), b=f (11), c=f (2 017),则a ,b ,c 的大小关系正确的是( )解析由①知函数f (x )在区间［4,8］上为单调递增函数；由②知f (x+8) =-f (x+4) =f (x ),即函数f (x )的 周期为8,所以c=f (2017) =f (252 X 8+1)=f (1), b=f (11) =f (3);由③可知函数f (x )的图象关于直线 x=4对称，所以b=f (3)=f (5), c=f (1)=和7).因为函数f (x )在区间［4,8］上为单调递增函数，所以 f (5) <f (6) <f (7),即 b<a<c.故选 B .12. (2019辽宁沈阳教学质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x+2) =f (2 -x ),当x € ［- 2,0］时,f (x )」一)x -1,若关于x 的方程f (x )-log a (x+2)=0(a>0且1)在区间(-2,6)内有且只有4 个不同的实根，则实数a 的取值范围是()C.(1,8)D.(8, +R )解析因为 f (x )为偶函数，且 f (2+x ) =f (2-x ),所以 f (4+x )=f (-x )=f (x ),所以f (x )的周期为4,A.avbvcB. b<a<cC.avcvbD.c<b<a又当-<X W 时，f (x )」二)x -1.画出f (x )在(-2,6)上的大致图象,如图所示.若f (x )-log a (x+2)=0( a>0且a z 1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f (x )的图象与y=log a (x+2)的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以答案D、填空题13. _______________________________________ 计算:2log 410--Iog 225+ _-( n -3) 0=_ 0 3 — 22log 410--log 225+ "- ( n -3) =2 X -log 210-log 25+(2 -1 =log 2—+2 -1=1 +4-1=4.答案414.已知函数 f (x )=ln( -x ) +1, f (a ) =4,则 f (-a ) =解析令 g (x )= ln( -x ), g (-x )=ln(+x ),22••• g (x )+g (-x )=|n(1 +x -x ) =0, A g ( x )为奇函数••• f (x )=g ( x ) +1.• f (a )+f (-a ) =g ( a )+1+g (-a ) +1= 2 .•- f (-a ) =- 2.答案-2所以a>8,故选D.解析则OL\J ?…-y -2 -io X15.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该产品需另投入的成本为Qx)(单位:万元),当年产量不足80千件时，Q X)=X2+10X;当年产量不小于80千件时，Qx)=51x+——1 450 .已知每件产品的售价为0. 05万元.通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是____________ 万元•解析因为每件产品的售价为0. 05万元,所以x千件产品的销售额为0. 05 X 1000x=50x万元.①当0<x<80时,年利润L(x) =50x--x2-10x-2 2250=--x+40x-250=--(x-60) +950,所以当x=60时,L( x)取得最大值,且最大值为L(60) =950万元;②当x> 时,L(x) =50x-51x --------- +1450-250=1200-' x+——/< -2 • ——=1200-200=1000,当且仅当x=——,即x=100时丄(X)取得最大值1000万元.由于950<1000,所以当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元.答案1 000 16.已知定义在R上的函数f (x)满足：①函数f (x)的图象的对称中心为(1,0),且对称轴为x=-1;②当x€ [ -1,1]时,f (x)= 则f\-，= ________ .-€ -解析由题意作出f(x)的部分图象如图所示答案--17.给定区间D对于函数f(x), g(x)及任意的X I,X2€ D(其中x i>%),若不等式f (xj-f (%)>g(x i)- g(X2)恒成立，则称函数f (x)相对于函数g(x)在区间D上是"渐先函数”.已知函数f(x)=ax2+ax相对于函数g(x) =2x- 3在区间［a, a+2］上是渐先函数，则实数a的取值范围是________________________________________ .解析设a w X2VX1W a+2,由题意知f (x i)-f (X2)>g(x"-g(X2)恒成立,即a +ax i- (a +ax2) >2x i-3- (2 X2- 3) 恒成立,即a( x i-x 2)( X I+X2+I) >2(x i-x 2).因为x i>x2,故不等式转化为a(x i+X2+I) >2恒成立.因为a w X2<x i W a+2,所以2a+I<x i+X2+I<2a+5,故当a>0 时，不等式恒成立转化为a(2 a+ > 即2a2+a-> ------------- ;当a<0时，不等式恒成立转化为a(2 a+ > 即2a2+5a- > 解得a w二一.所以a的取值范围是(-g, ------------ U ----- 一,+g).答案\-g,1—- U18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x€ R都有f(x+1)d；②函数y=f (x+1)的图象关于y轴对称;③对于任意的x i,X2€ ［0,1］,且x i<X2,都有f(x i)>f(X2),则f - ,f(2), f(3)从小到大的关系是________________ 解析由①得f (X+2) =f(x+1+1)=——=f (x),所以函数f (x)的周期为2.因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称，将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得y=f(x)的图象，所以函数y=f(x)的图象关于x=1对称；根据③可知函数f(x)在［0,1］上为减函数，又结合②知,函数f (x)在［1,2］上为增函数.因为f(3) =f (2+1) =f(1),在区间[1,2] 上,1 <<2,所以f(1) <f - <f(2),即f ⑶ <f - <f (2).答案f(3) vf - vf(2)。