金融时间序列的多重分形分析MULTIFRACTAL ANALYSIS OFFINANCIAL TIME SERIES指导教师：申请学位级别：学士论文提交日期：2014年6月12日摘要有效市场假说(EMH)是现代金融市场的基础理论，该理论认为市场的价格反映了市场的全部信息，市场价格的波动之间相互独立而且不可预测，收益率服从随机游走，收益率分布服从正态分布或对数正态分布.但是，现实中的种种限制因素决定着这一传统的金融理论有着很大的局限性，实际的资本市场并不是传统理论所描述的线性系统，而是一个非线性的系统，这也意味着分形理论开始应用在金融市场.分形理论则认为金融市场具有明显的分形结构和尖峰厚尾的分布特征，金融时间序列在一定的标度范围内有着持续性与反持续性的特征，而且不同幅度的波动能够表现出多重分形特征.分形理论比有效市场理论更能有效揭示金融市场的波动本质，同时也能更有效地揭示出金融市场的基本规律.本文选取上证综指（上海证券综合指数）和深证成指（深圳证券成分指数）2005年1月5日至2014年5月22日的每日收盘价的股指收益数据位样本，分别采取R/S、DFA、MF-DFA方法对我国股市的分形及多重分形特征进行实证研究与分析.主要验证了两时间序列的分形及多重分形特征；分析比较了两时间序列的市场有效性特征，通过计算并比较h∆的大小，得出了上海证券市场比深证证券市场有效；分析比较了两时间序列的市场风险，通过计算并比较多重分形谱的宽度α∆，得出了上海证券市场存在的风险比深证证券市场的要大.关键词：分形；多重分形；广义Hurst指数；市场有效性；市场风险ABSTRACTEfficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories have great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system.This also means the appearance and development of fractal theory.The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal structure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital market theory, and can effectively reveal basic law of the finance market.This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2005 to May 22, 2014 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S, DFA, MF-DFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics.The main work includes the validation of two time series fractal and multi fractal characteristics, by analysis the effectiveness of market of two time series, and give the result that the Shanghai stock market is more effective than the Shenzhen stock market, by analysis and compare the two time series of market risk, and give the result that the risk of Shanghai stock market is bigger than the Shenzhen stock market.Key word:F ractal; multi-fractal; generalized hurst exponent; stock market efficiency; financial market risk目录1 引言 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2 国内外研究综述 (2)1.3 研究内容 (3)2 金融时间序列的相关分形理论与方法 (5)2.1 分形理论 (5)2.2 多重分形理论 (7)2.3 分形市场理论 (8)3 几种分形方法理论研究 (10)3.1 单分形方法 (10)3.2 MF-DFA方法 (12)4 泸深股指分形特征的实例分析 (10)4.1 泸深股指的分形特征分析 (14)4.2 Hurst指数分析 (14)4.3 泸深股指的多重分形特征的测度 (16)5 泸深股市的市场有效性、市场风险关系的分析 (17)5.1 市场有效性分析与比较 (17)5.2 市场风险分析与比较 (18)6 总结与展望 (20)6.1 研究成果总结 (20)6.2 研究展望 (20)参考文献 (24)致谢 (25)附录 (26)1 引言1.1 研究背景与意义1.1.1 研究背景中国的金融市场从20世纪90年代兴起以来，直到现在在中国的经济体系中它已成为了一个重要的成分.金融在现代经济中处于核心的地位，它在促进生产要素的重新组成以及建立一个不断完善的社会主义市场经济中，占据着越来越重要的地位，同时金融市场在促进社会主义经济市场的发展与优化资源配置等各个方面也起着很重要的作用.现在，股票市场更为投资者提供了投资的主要渠道，而且股票价格的变动也为股票市场的变动提供了重要的信息，与此同时，不断发展起来的股票市场更需要理论作为其坚实的后盾.自形成以来，金融经济学一直以一个线性的范式为引导，由此而发展起来的.有效市场假说成为了现代金融学的基石，有效市场假说（Efficient Markets Hypothesis），简记为EMH，它是在1970年由尤金•法玛经过深刻研究并提出来的.EMH的意义在于：在任何时刻证券的价格都是完全并正确地反映出所有可以获取的信息.有效市场假说指的是一种理想状态，实际上它体现的是一种均衡、平等竞争的思想.而在这样的假定下，价格能够反映出所有的相关信息，而且价格的波动相互之间是独立的，是无法预测到未来价格变动的，价格的收益率服从随机游走，收益率的分布呈现出正态或对数正态的分布.以经济学理论的观点来看，在有效的市场中，要想连续不断地获取到超额的利润是几乎不可能实现的.有效市场假说是当代金融经济学的支柱性理论之一，虽然该理论指的是理想状态，没有考虑现实市场的各种因素影响，但金融市场的这种线性范式已经成为了金融学进行研究的主流，之后的理论都是以它为基础发展起来的.随着学者们的深入学习，发现了最近不断涌现一些反面的例子，这使人们所熟知的有效市场假说遭遇了很大的冲击，有效市场理论无法对这些异象作出合理的解释.比如：小公司效应，小市值的公司股票收益率并不小于大市值的公司股票收益率；虽然小公司股票的相对风险比较大，但是，长期投资于小公司的股票却获得了较高的收益；于1987年出现的异常“黑色星期一”现象，美国的股市在这一年10月19日的股灾中的平均指数顿时暴跌；“一月效应”，也就是每年的一月份，股票价格一般会有比较高的涨幅程度，从而可以获得到超额的收益，而且，这几乎可以算得上是一种可以预测的现象.“输家－赢家效应”，研究结果表明，前一期绝对的输方，也就是亏损者趋向于被低估，而前一期绝对的赢方则会相反趋向于被高估.另外，金融市场的数据统计则开始出现了长记忆性、尖峰厚尾等特征.由于诸多异常现象的存在，越来越多的学者开始从不同的角度做出了深入探索，研究成果也各不相同.他们开始将目光转移到非线性系统，并从非线性系统的角度来分析和研究金融市场，分形理论作为非线性科学理论中的一个非常重要的部分，也开始应运而生，它在金融市场的分析研究中占据着极其重要的成分. 最初分形理论的研究比较集中在金融市场的单分形特征上，但是单分形仅仅能够描述出股价波动的长期性的统计行为，适用于对全局的统计，对局部过程的详细描述却不够全面，不能满足人们的研究需要.为了使价格的波动情况能够更加的全面描述，学者们开始了对多重分形理论的相关分析与研究.随着研究的不断深入，多重分形理论逐渐被接受，而且受到了各国学者广泛的关注，它在复杂的金融系统中有着潜在的应用前景.为了更深入认识和理解中国的股票市场，众多学者运用了各种方法，不断对金融市场多重分形的结构进行更加深入的研究.1.1.2 研究意义本论文针对分形及多重分形理论，通过认真学习相关理论知识并将其运用于金融领域，利用金融时间序列的具体实例进行分析研究，主要目的是判断并研究金融时间序列中的分形及多重分形行为，通过数据的拟合，研究市场的长程相关性和波动行为，并计算广义Hurst指数，度量并比较不同的市场有效性市场的风险大小.1.2 国内外研究综述1.2.1 单分形相关的国外文献综述1977年，Mandelbrot分析研究了在不同的时间标度上时间序列的动力学特点[1]，之后经过多年的研究，提出了“分形”这一概念.Przekota G用Hurst指数这一指标来识别资本市场的时间序列特征，考察并研究了金融市场时间序列的长期相关性的统计方法[2].C.K. Peng等人[3]于20世纪初，在分析研究DNA分子链的单分形结构的时候，提出了用于解决非平稳的时间序列分形分析的方法，称之为消除趋势波动方法( de-trended fluctuation analysis)，简记为DFA方法. 1.2.2 单分形相关的国内文献综述国内的一些学者对单分形理论也有了一定程度的分析研究，牛淑珍运用了R/S（重标极差）分析方法，来研究深圳和上海两地的股票市场的每周的收盘指数的时间序列[4]，其结果显示，我国的股票市场的波动性呈现出非线性的特征.庄新田用上海证券综合指数（上证综指）和深圳证券成分指数（深圳成指）每日的收盘价格为样本，来研究上海和深圳两地的股票交易市场的分形特征[5]，并认为两地的金融市场并不具有有效市场的特征，它们的股价指数显示出有偏随机游走而非正态的特征，同时时间序列具有长记忆的特征.1.2.3 多重分形相关的国外文献综述在金融股票市场上通过对分形理论的深入研究，分形理论不断取得新的成果，并且学者们已经开始了从研究单分形理论过渡到多重分形理论的分析研究阶段.Muniandy 通过研究马来西亚外汇的分形行为，用R/S分析方法、DFA方法和相关系数的二阶矩等方法计算了全局的Hurst指数，并用多重分形的布朗运动来分析金融时间序列的多重分形特征性[6].Norouzzdeh用MF-DFA分析方法研究了伊朗的银币对美元的汇率波动的多重分形特征，他通过对广义Hurst指数、标度指数、广义分形维以及奇异谱的研究，发现了产生多重分形的原因，这一原因是与尖峰厚尾的分布特征和长程相关性相关的[7].Sadegh Movahed运用了分形分析的MF-DFA方法来研究河流流量的波动，结果表示，存在着两个相互交叉的时间标度，河流流量的Hurst指数显示出了长程相关性的特征，并逐渐发现了多重分形的特性是因为概率密度函数的厚尾这一分布所造成的[8].1.2.4 多重分形相关的国内文献综述张永东和毕秋香在《中国股票市场多标度行为的实证分析》一文[9]中，通过研究中国股指的时间序列，并分析研究不同时间跨度的指数增量序列和收益率序列、广义的累积绝对收益序列的标准差，发现了标准差s与时间跨度t之间满足一种幂律关系，而且幂指数并不是唯一的，它具有明显的多标度的特征.常松和何建敏，他们运用多重分形特征理论来分析中国的股票市场[10]，验证了中国股票市场的多重分形游走特征，而且通过进一步研究多重分形过程局部的尺度特性，将这种局部尺度和多尺度之间的相关性联合建立了小波和神经网络相互结合的对于股票价格的一种预测模型.庄新田和苑莹通过运用MF-DFA方法（消除波动趋势的分析方法）对上证综指的日收益率进行多重分形特征的分析，发现了出现多重分形的原因，这是由于非线性的长程相关性和概率分布函数的尖峰厚尾分布所导致的，随后继续研究了股票价格的指数波动特征，发现了当股票价格的指数波动相对较大时，广义Hurst指数具有非常显著的波动特征，由此他提出了基于广义Hurst指数的两种不同的风险指标[11].1.2.5 文献综述总结从以上研究来看，现阶段，将分形理论应用到金融领域仍是一个热门的课题，但却还不够完善，仍存在着大量的缺陷.目前来说，国内外对待金融市场中多重分形理论的分析研究以及应用都还处于初级阶段，都还不成熟，很大部分的相关研究成果都只是停留在对金融时间序列的多重分形特性的检验阶段，而没有继续深入.尽管部分学者已经证明了多重分形谱的形态特征对金融时间序列的波动、金融风险的预测及考察都具有一定的指示效果，但研究结果终究比较零碎，不完善，现在还没有形成一个比较完整的体系.比如说实证方法和技术多样缺乏标准的判别指标，对于分形结构存在的原因的分析各有不同，至于分形及多重分形理论在金融市场上的预测等应用还在探索中，具体的应用还有待于进一步研究，需要不断改进.1.3 研究内容1.3.1 研究思路及框架基本思路：本文将先介绍分形理论的一些基本知识点，简单介绍分形市场理论，然后将分形理论应用到中国上证综指和深证综指的金融时间序列中，通过计算广义Hurst指数，研究市场的长程相关性和波动行为，判断金融时间序列是否符合分形及多重分形行为，并度量市场的风险和市场效率.基本框架：1.引言，包括：研究背景及意义、国内外文献综述、研究内容简述；2.介绍金融时间序列的相关分形理论与方法，包括：3.介绍各种研究方法，包括R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等；4.用数据进行实证分析，做个各种方法的对比；5.得出结论，并作出评价.1.3.2 研究方式与方法研究方式：本论文通过查阅相关文献充分理解基本理论知识及方法，如R/S分析，MF-DFA方法、MF-DMA方法等，主动请教指导老师，之后根据自己的想法及思路，在matlab上实现相关程序，根据图形得出结论，最后总结、评价，找到不足，并指出自己的一些展望.具体研究方法有：1. 在图书馆查阅相关书籍，进行相关方面知识的研究和探讨.2. 借助网络媒介进行相关资料的搜索.3. 查阅国内外期刊中与课题相关的文章，加以分析研究.4. 就本课题向老师和同学们讨教，听取他们的意见和观点.2 金融时间序列的相关分形理论与方法2.1 分形理论2.1.1 分形理论的形成分形理论是由Mandelbrot首先提出来的，并在此基础上发展为一种系统的理论，它起源于对海岸线长度测量的研究问题.Mandelbrot在研究英国的海岸线的复杂边界时，发现了不同比例的地图上测量出来的海岸线长度是不同的，这也正是欧几里德几何所无法解释的一点.大家都知道，海岸线是弯弯曲曲的，不规则且极不光滑的一条曲线.如果要对它的长度进行测量，就必须要选取一定的测量单位才可以.如果选作“公里”作为测量单位来测量海岸线，很显然从几米直到几十米的弯曲程度就都被随之忽略掉了，此时测量的结果我们记为M1；如果选取“米”作为测量单位，测量的结果很明显要比上一次的准确一些，几米直到几十米的弯曲程度都可以被包括在测量的范围内，然而厘米量级的这样小的弯曲，却仍然被排除在计量长度范围之外，这时的测量结果我们记为M2，则一定有关系式M2>M1；如果继续用更小的“毫米”为单位来测量，其结果显然要比前两次精确的多了，但是仍存在微米量级的小的弯曲被忽略掉了，此时的测量结果记为M3，且存在关系式M3>M2>M1.继续设想，如果继续把海岸线分解到“分子”、“原子”这样的尺度标准，很显然测量得到的长度L4 会大到天文数字的级别.追究其原因则是因为海岸线是一种具有各种层次且无穷多的细节的非常复杂的几何对象.自然界中存在很多类似于海岸线这样的几何对象，它们都是一些极其不规则而且支离破碎的片段的集合，如河流、山脉、血管、云团、树枝等等.Mandelbrot 用“分形”这一概念，来描述这些十分复杂的几何对象.在研究过程中，他将测量长度和放大尺度（比例）分别取其对数，发现所对应坐标点之间存在着一种线性的关系，这表示，这类十分复杂的集合体都具有一种共同的特征，即自相似性的特征，也就是说局部的形态与整体的形态是相似的.后来，通过研究，Mandelbrot更进一步发展了分形几何理论，这一理论不仅可以产生许多分形集曲线和图形，如Mandelbrot集、Koch曲线、Cantor 集、Sierpinski垫片等等，而且还可以用来描述复杂对象的几何特性.Mandelbrot用“分形理论”这一定义，来反映这种表示这些复杂的图形特征和复杂过程规律的性质.2.1.2 分形理论的定义及特征尽管至今为止，分形理论还是没有形成一个比较严格的定义，但是很多研究者都根据自己的理解做出了自己的定义.最开始的时候，分形定义是由Mandelbrot提出来的，他指出分形是这样的一种集合：它的维数严格意义上是大于其拓扑维数的.但是这个定义还是不够严谨的，而且比较抽象，不能够被人们所理解.接着他指出另一个定义，部分以某种形式与整体相似的这样的一种形状叫“分形”，但是这个定义是仍然不够全面的，仍然不能够被大家所认可.直到1990年，Edger指出，分形集合是这样的一种集合，它比传统的几何学所研究的所有的集合还要更加不规则，不管是将它放大多少倍还是缩小多少倍，甚至是更进一步地进行缩小，这种集合的不规则程度性仍然是十分明显的.紧接着，英国数学家Kenneth J. Falconer出版了《Fractal Geometry》一本书，对分形定义做了如下比较详尽的描述.集合F如果满足以下条件，则认为它是是分形的：（1）集合F具有很精细的结构.即它在任意小的尺度之下，它总是具有复杂的细节的；（2）集合F通常具有某种自相似性特征，这种自相似性可以有时是严格相似的，但也可能是统计意义上的相似；（3）传统意义上的的几何语言是无法对不规则的集合F进行局部与全局特征的描述的；（4）集合F的分形维数大多部分都是大于它的拓扑维数的；分形集合总的来说是有以下的特征的：（1）自相似性.也就是说，局部和整体之间是相似的，这既包括严格意义上的自相似，还包括在一定的尺度范围内的近似意义上的自相似以及存在于统计意义上的自相似性.（2）标度不变性.也就是说无论放大多少倍或者是缩小多少倍，集合的不规则特征、形态结构及其复杂程度等是都不会发生变化的.而且存在这种关系：具有标度不变性特征的集合体一定具有自相似性的特征.（3）分数维.即分形维数不是以整数表示的，而是以分数的形式表示的，而且一般来说分形维数是大于它的拓扑维数的.维数是空间理论和几何学里的一个基本概念.我们现在已经习惯于欧几里德几何的整数维数了，比如：点是零维的，线是一维的，面是二维的，而体积是三维的.在欧氏空间之中，物体被认为是连续且光滑的，对称的而且同质的，因此我们通常可以用整数维对其进行系统的描述.但是对于描述分形体，这种既不规则也不光滑的对象，传统的欧氏维数是几乎无法做出回答的.分形维数是对几何体的不规则性程度，复杂的程度，粗糙程度等性质的一个有效地测度.（4）自放射性.自放射变换指的是整体的各个方向的变换比率是基本不一样的，但是局部的随机性与整体的确定性是同时存在的.最后，分形集其实可以说是这样的一类集合体，他的局部和整体之间存在着结构、形态等方面的自相似性，而且这种相似性是不会随着测量尺度的变化而改变的，同时观测尺度和相似比例之间满足着一定的指数关系形式.所以说，分形能够从不同的标度指数来描述出集合的特征，能用分形维数的概念来刻画分形结构的特征.2.2 多重分形理论2.2.1 多重分形定义多重分形(Multi-fractal)，这一概念是定义在分形结构上的，它是由多个不同的标度q 和标度指数()q h 的分形测度来组成的这样的一个无限的集合.多重分形理论是从集合的局部出发来进行研究整体特征的一种方法，它在直观上可将多重分形很形象地看作是由众多的维数不同的单一分形进行交错叠加而形成的.从几何的角度来看，组成分形集合的许多若干个子集的标度q 及分形维数都是互相不相同的，多重分形也被称为是称多标度分形.可以表征多重分形的主要方法有：广义Hurst 指数，或者可以使用奇异谱函数)(a f .奇异谱)(a f 可以定量地刻画出来分形体在各个不同的局部条件下对应的概率分布特征，其中奇异标度指数a 规定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度.2.2.2 多重分形过程Mandelbrot 通过运用增量矩的尺度特性，来定义了多重分形过程：如果一个连续的时间过程(){}T t t X ∈,具有一个平稳的增量，并且满足：()()()()1+∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆+q q t q c t X t t X E τ （2-1） 则称()t X 为多重分形过程.其中t ∆为时间增量，T 和Q 是实轴上的区间，它们长度非零，并且[]Q T ⊆∈1,0,0，()q c 和()q τ均是Q 域上的函数.上式表示了多重分形过程的矩的一个幂律关系的性质.函数()q τ是多重分形过程中的尺度函数，通过运用序列增量的矩特性，从而刻画出来不同幅度的增量的尺度特征，进而可以刻画出各个不同时点上的分形特征.其中，当()q τ为q 的线性函数时，这一过程是单分形过程，比如当()1-=Hq q τ时，()q τ是由H唯一决定的一个线性函数；而当()q τ为q 的非线性函数时，这时就称这一过程是多重分形的过程.通过对不同幅度的波动进行幂次方处理，这就相当于对波动的波幅放大几倍或缩小几倍.所以，不同的q 值对应的尺度函数()q τ对应着不同的波动，从而反映出了不同程度大小的价格波动信息，而且随着时间标度的取值变化，还可以观察在不同时间标度上的价格波动信息.总之，多重分形分析能够更加清晰地分析研究金融市场上的不同时间的标度，不同幅度变化的价格或者收益波动的相关特征.多重分形能够定量地刻画出十分复杂的几何对象在不同的层次的一个分形特征，并且可以用多重分形谱的形式表达出来.因此，我们可以知道，通过运用多重分形的相关理论去分析研究金融市场，能够更准确地对金融市场的波动性进行更加细致的剖析和描述，进而可以得到有关于金融时间序列在不同的时间标度以及不同幅度程度的波动信息.2.2.3 广义Hurst 指数对于时间序列()t X ，根据公式(2-1)，来定义广义Hurst 指数()q H H q =，()()(){}()()()q H q q t q c t X t t X E ∆=-∆+1 （2-2）函数()q H 描述了时间增量在t ∆下的广义平均波动的相关信息.特别地，当1=q时，1H 即为前面单分形中的指数，也称为全局H 指数，当5.01>H 时，序列表现持续性，5.01<H 时，表现反持续性，5.0=H 时，即为随机的布朗运动.广义Hurst 指数()q H 与尺度函数()q τ之间的关系为：()()[]qq q H 1*1+=τ （2-3） 2.3 分形市场理论2.3.1 分形时间序列对于一个时间序列来说，只有在它受到许多等可能性事件的共同影响时才是随机的.而且对于一个非随机的时间序列，构成序列的数据之间是具有内在相关性的，也就是说时间序列是分形的.分形吋间序列也通常被称为是有偏随机的游动，曼德勃罗特（ Mandelbrot ）把这种随机游动称为是分数布朗运动.它表示了时间序列的非随机特征，序列具有趋势叠加上噪声的这样的一种特性.趋势的存在也导致了测出的观测值之间不是相互独立的，这个时候，序列的观测值就具有长记忆性的特征.通常来讲，分形时间序列具有下列的一些特点：（1）分形时间序列具有着无限的精细结构.当观测的对象，即股票收益率序。