“初等”方法： 不等式(算术平均值 ≥ 几何平均值)
x 由质量比a决定 液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.
啤酒杯重心模型一
a = w2/w1
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25
微分法：求解s极值问题
x
x
0.2 0.15 0.1 0.05 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 a
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
x 由质量比a决定
液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.
结果分析
(a = w2/w1)
x
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1
x
重心最低位置x由比值a决定
0.05 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 a
0.6
0.7
0.8
0.9
1
a
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯). 设w2=150g 半升啤酒w1=500g a=0.3
把啤酒喝得只剩下不多，才放心地放下，哎呀，啤酒又倒 了.满杯也到，空杯也倒，怎么Байду номын сангаас事？ 问题：当啤酒杯中所装的啤酒高度为多少时，最容易放稳？
倾倒的啤酒杯
当啤酒杯中所装的啤酒高度为多少时，最容易放稳？
杯子的形状、材质？啤酒类型、密度？ 如何 理解 问题？
“放稳”是何含义？ 放在何处？有无外力作用？……
u

c
b
a
v
图2
数学问题（续）
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对 上题（3）作图（考虑 的影响），并解释 结果的实际意义。 （5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面 内，模型会有什么变化？
找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素
问题分析与模型假设
最简单的啤酒杯 ~ 高度为1的圆柱体
假设：啤酒和杯子材料均匀 沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时 液面高度从x=0到x=1 重心位置沿x轴变化，记作s(x) w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量 w2 ~ 空杯侧壁质量 w3 ~ 空杯底面质量
x s( x )
倾倒的啤酒杯
问题背景：一个春意盎然的午后，你和家人来到郊野公园
的草地上，铺下一领凉席，打开带来的食品袋，斟满一杯 啤酒后随手放到席子上，哎呦，啤酒杯倾倒了，金黄色的 啤酒洒了一摊。又是一个夏日炎炎的傍晚，你和朋友来到 碧沙起伏的海边，朋友刚要把从吧台买来的啤酒撴在沙滩
上，你突然想起那次在草地上的教训，赶紧接过来一口气
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
w2↑ → a ↑ → x ↑
空杯越重,重心最低时的液面越高.
结果分析
意料之外?
情理之中 !
(a = w2/w1)
x s(x )
=x
啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低. 直观解释 x=s x=0时s=s2=1/2 x↑→s1=x/2向上作用 →s↑ x=1时s= 1/2
啤酒杯重心模型二 =s(x)
a = w2/w1
b = w3/w1
啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.
与模型一 a=0.3时 x=0.3245比较 设侧壁和底面的厚度和材质相同, 侧壁高度h, 底面直径 d, h=2d b=w3/w1=(1/8)0.3=0.0375 w3/w2= d/4h=1/8 x=0.3059
0.5
a = w2/w1
w1 ~ 啤酒质量 w2 ~ 空杯质量
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25
s最小, 即重心最低.
a=0.1 0.2 0 0.1 0.2
x
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x =0.35
0.3
啤酒杯重心模型一
a = w2/w1
倾倒的啤酒杯
重心 “自然”状态：平坦处能放稳； 不平坦处“满杯”更易倾倒 太高！
定性分析——啤酒杯的重心变化有何规律？ 空杯的重心？ 约在杯子中央稍下一点的位置 倒酒过程中? 先降后升，满杯几乎回到空杯重心处 重心有一个最低点 啤酒杯容易放稳的位置
定量分析——建立数学模型，描述重心变化规律，
背景材料
某天早晨，睁开眼，瞥了一眼窗外，发现天气不 错，不过转念一想“哎，又要起床上课去了”，没办法， 快速洗漱收拾之后，背着书包，出宿舍向教室出发， 不过刚没走几步，发现不对，天怎么黑压压的呀，心 想“没这么倒霉，不会下雨吧”，结果可想而知，真是 应了那句老话，想太多会害死自己的，暴雨瞬间就来 了，没办法为了少淋雨，不得不以最快地速度奔向教 室，虽然速度不及刘翔，不过已经使出了平生最大力 气，不过还是淋了个落汤鸡。 问题：是不是跑的越快，雨淋得越少，还是说存在一 个最佳冲刺速度？
数学问题（续）
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同 一平面内，且与人体的夹角为 ，如图1.建 立总淋雨量雨速度v及参数a,b,c,d,u,w, 之间 的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计 算 0, 30 时的总淋雨量。

u
b
c
a
图1
v
数学问题（续）
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向 在同一平面内，且与人体的夹角为 ，如 图2，建立总淋雨量与速度v以及参数 a, b, c, d , u, w, 之间的关系，问速度v多大 时，总淋雨量最少。
结果分析 啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低. 数学分析
啤酒杯重心模型二 底面厚度<<杯子高度
考虑空杯底面质量w3
底面重心 s3=0
x
1
力矩平衡
s1=x/2 s2=1/2
a=w2/w1
b=w3/w1
s2x =1/2 液面 s(x ) s s3=0 1=x/2 0
b=0时与模型一相同.
数学问题
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为 常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得 越快，淋雨量越少？ 将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以 下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m。设跑步距离 d=1000m，跑步最大速度v=5m/s，雨速4m/s,降雨 量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论。 （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最 大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
啤酒杯重心模型一
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
啤酒质量w1x 空杯质量w2 空杯重心s2
1 s2=1/2 s( x ) s1=x/2 x
啤酒重心s1
力矩平衡
s1=x/2
s2=1/2
a=w2/w1
啤酒杯重心模型一 啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 图解法？ 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3: x=0.35左右
0 液面
x
1
空杯重心由w2和w3
决定, 与x无关
问题分析与模型假设
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量 w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量 啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
x
1 s2=1/2 s( x ) s1=x/2 x 0 液面
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2 忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2