蜘蛛网最佳结网模型探究
摘要：世界上生存着许多蜘蛛，其中大部分种类都通过结网进行捕食。
蜘蛛网模型是通过建立最有利于蜘蛛捕食的网结构来探讨蜘蛛结网的适用性，从而进一步探究出最佳的蜘蛛网结构。
利用数学、物理以及生物方面的知识并结合蜘蛛结网的实际过程，建立数学模型，对问题做出相应的解答和处理，从而得出蜘蛛的最佳结网模型。
关键词：蒙特卡罗对数螺旋线弹性力学 visio软件
中图分类号：q61 文献标识码：a 文章编号：1007-3973（2013）003-086-03
1 问题分析
1.1 蜘蛛结网的机理
蜘蛛会先向空中放出一根长长的“搜索丝”，任其随微风或气流飘荡。
之后，蜘蛛会放出一根悬垂丝，并在这根丝的中段加上第三根丝成y字状，形成蜘蛛网最初的3根不规则半径，再加上50多条线形成一张网的雏形，接下来的工作是铺设螺旋线，纺织成网。
蜘蛛以网心为起点，织出一根自内向外的螺旋线，作为下一道工序的“脚手架”。
需要指出的是，直到“脚手架”搭好，蜘蛛所织出的网还没有黏性，也就是说还粘不住昆虫。
这时，蜘蛛便从外向网心开始铺设有黏性的丝，即捕食螺线，同时把“脚手架”吃掉，完成最后一道工序。
1.2 需要解决的问题
（1）如何模拟蜘蛛选择结网位置。
（2）如何确定蜘蛛结网的最优模型。
（3）蜘蛛结网后，捕食受哪些因素制约。
（4）如何对得到的蜘蛛最佳结网模型进行进一步推广。
1.3 解决方法
建立适合的数学模型，提出问题，做出相应假设。
在所选择的模型的基础下，导出模型的数学表达式，求解模型最终得出结论。
2 建立模型
2.1 模型假设
（1）假设蜘蛛所结网的面积一定。
（2）忽略蜘蛛的生长特点以及蜘蛛的其它各种需求量。
（3）假设猎物落在蜘蛛网中任意一处的概率相同且蜘蛛捕食的速度均匀。
（4）忽略蜘蛛捕食的繁殖周期及各阶段的生长情况，设它们的生长率不变。
（5）忽略蜘蛛在捕食过程中自然因素的影响。
2.2 对蜘蛛织网位置的预测
用一个具体的长方形模拟蜘蛛生长的具体环境，按机会均等原则向此长方形中投点。
考察蜘蛛所生长的具体环境，以点的疏密模拟蜘蛛所捕猎物在每个地方的数量，作图如图1，设蜘蛛所捕猎物
在区域abcd出现的概率最大，即该区域是蜘蛛最适结网处图1 模型图
2.3 对蜘蛛织网模型的建立
2.3.1 蜘蛛网螺旋线分布
螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”。
著名的数学学家笛卡尔1683年首先描述了对数螺旋线，并且列出了螺旋线的解析式：
r=ae cos
其中r：向径，：极角，：定角。
在蜘蛛结网时，首先在两地之间架“天索”，把丝固定在一定的地方，并在固定的丝上来回走几趟，使丝加粗，然后在“天索”上设置对角线，再在对角线中央织一个白点，这将是网的中心，以后往返于中心和圆周之间织许多呈辐射状的半径线，接着自圆心向外作第一螺旋线，再自外向里织粘性强的第二螺旋线，织好第二螺旋线后，将第一螺旋线及其部分射线吃掉，并继续自外向里作螺旋线。
愈近中心，每圈间的距离也愈密，直到不可辨认的地步。
这正符合数学上的对数螺旋线的情况。
所以对蜘蛛网状模型的探究可归结为对对数螺旋线的探讨。
基于上述推导，建立以下三种蜘蛛织网模型，用visio软件得出图2，分别是蜘蛛网的螺旋线均匀分布、先密后疏、先疏后密。
图2 蜘蛛网的螺旋线均匀分布、先密后疏、先疏后密
2.3.2 推导相应的数学表达式并得出结论
比较蜘蛛在这三种螺旋线图上捕食路径的长短，以圆来模拟蜘蛛网的螺旋线。
当不同数量的猎物在同一时间，以同一概率落到三种不同形状的网上时，若不考虑蜘蛛网对猎物的粘着性及猎物落到蛛网上时对蜘蛛网的张力及破坏程度。
（1）猎物落到不同放射丝上时，依据数学中的相应机理，推导出如下计算公式（猎物n只，蜘蛛在p点，蛛网中心为o点，蜘蛛吃到所有落在网面上的猎物所经过的路程为l）：
1）蜘蛛网面疏密程度相同的情况下：
猎物不在同一放射丝上：
当n=1时，
l12=pk12=（3d）2+（2d）2-2*3d*2d*cos 1=13d2-12d2cos 1 当n=2时，l22=（l1+k1k2）2=l12+k1k22+2l1*k1k2
当n=3时，
l32=（l2+k2k3）2=l22+k2k32+2l2*k2k3=l12+k1k22+k2k32+2（l1*k1k2+l2*k2k3）
所以，当有n只猎物时，
ln12=（ln-1+kn-1kn）2=l12+k1k22+k2k32+k3k42+……
+kn-1kn2+2（l1*k1k2+l2*k2k3+l3*k3k4+……+ln-1*kn-1kn）=l12+kiki+12+2（li*kiki+1）
其中：kiki+1=d32-d22-d22cos i=5d2-4d2cos i
即得到蜘蛛吃到所有落在网面上的猎物所经过的路程：
猎物在同一放射丝上：l=nd
2）疏密程度不同的情况：
猎物不在同一放射丝上：
=q
同理可得：
，其中：i=2，3
i.先疏后密01
猎物在同一放射丝上：l=dqn-1
那么在假设蜘蛛、猎物在三种网型中处于相同位置的条件下，通过作差法比较以上三种捕食路径的大小，得出以下结论：在先密后疏的网型中，蜘蛛捕食猎物时路径最短，即
（2）研究猎物落入蛛网后对蛛网的张力作用。
将蛛网看成一块儿木板，则猎物撞击蜘蛛网时，木板受力，如图3。
图3 模型图
将木板截取一段：（：剪应力：沿切面方向；：垂直于横截面的正应力）
假设木板宽度为b，厚度为h，由正应力计算公式，得： ==y 又因为此时为纯弯曲状态，故 =0。
引入二维莫尔圆模型：
设圆心为：[，0]，r=
受力物体内某一截面上：
=-cos2 ， =sin
圆上的点n（nx，ny），有：
nx=sin ，ny=-cos2
（ny，nx分别表示 1与截面法线夹角为的截面上的正应力值与剪应力值）
此时 =0，可以推出： =0或者 =。
不防以 =为例进行下一步研究，则：nx=0。
这表示主应力作用面上无剪应力且 1与 2夹角为，即二者永远垂直。
又由 =得 = 1，即：此时正应力与主应力大小相同，故作用在木板上的力最终只体现为正应力。
对于木板，当f增大到一定程度时木板的中心将最先断裂，即：木板中心受到的力最大，所以只需研究蜘蛛网的中心部分即可。
通过进一步研究三种蛛网的中心部分，画出截面图如图4。
等疏密的蛛网模型
先密后疏的蛛网模型
先疏后密的蛛网模型
图4 蛛网模型
因为对蛛网的作用力只体现为正应力，分别对三种蛛网模型进行研究可知，先密后疏的蛛网模型，由于中间较密，在有同样的张力作用下，每根丝分到的力相较于其它两种模型较小，所以不容易
断，更有利于猎物的捕获，所以根据模型的建立以及计算推导，得出如下结论：先密后疏的蛛网模型更有利于蜘蛛的捕食，即：先密后疏的螺旋线模型为蜘蛛捕食的最佳模型。
3 模型的推广与优化
假设此时考虑外界因素，引入几何概率模型，对蜘蛛结网模型进一步探究。
3.1 蜘蛛捕食时天敌存在
（t：假设此事件发生在t时间内；t：先到者与后到者所用的时间差）
设在t这段时间内，蜘蛛与其天敌在同一时间要捕食相同的一个猎物，因为蜘蛛与其天敌分别在0到t时之间到达猎物所在地点的时间是等可能的，故可看作几何型随机试验“约会问题”。
以x，y分别表示两人到达猎物地点的时间：蜘蛛先到为xy，y+t≥x→x-y ≤t。
计算得：蜘蛛天敌先到的概率p= 。
由此公式得：当t越大时，蜘蛛的天敌先捕食到猎物的概率越小。
而t是先到者与后到者的时间之差。
蜘蛛所走路径越短，到达猎物所在地所用时间越短，t越大。
而在先前的三种蛛网模型中，蜘蛛在先密后疏的蛛网模型上捕食猎物所走路径最短，从而得到先密后疏的螺旋线模型是蜘蛛捕食的最优模型。
3.2 蜘蛛捕猎物撞到蜘蛛网上的概率
引入几何概率模型，即“射靶模型”。
所以猎物撞到蜘蛛网上的
概率与蜘蛛网的面积成正比，并且猎物落在三个蛛网上同一片区域的概率均相等。
但在上述对三种模型的比较中，我们知道在先密后疏的螺旋线模型中猎物最不容易脱离蛛网，由此分析，蜘蛛所结网的最好模型就是先密后疏的对数螺旋线模型。
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