Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3

% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
2
s1

n
0
s2
0
s2
0 1
s1, 2 n jn 1
2
0
s1, 2 jn
二、二阶系统的单位阶跃响应
2
h (t) 1
1 1
2
e
t
sin( d t )
为什么衰减？
e
n t
s1，2有负实部
n
怎么样能衰减更快？
为什么振荡？


s1，2远离虚轴
s1，2有虚部
sin( d t )
1
怎么样能减小振荡？ 思考
2
d
n

s1，2靠近实轴
1

由%
h(t p ) h() h ( )
% e
100%
1
2
100 %

或
5%
%
ts
e
4 n
tg
100 %
3 调节时间 ts 近似求得 n
2%
% 与 的关系曲线
为了获得更好的平 稳性和快速性，通 常将 选在0.4-0.8之 间，相应的超调量 为2.5%-25%
2
100 % 25 %
0 . 4037
闭环传递函数：
t p 0 .4 s
tp
n 1
2
(s)
C (s) R (s)

2

K n
' 2 2
s 2 n s n
2
n 8 .5 8 5 ra d / s
4 7 3 .7 s 6 .9 3 s 7 3 .7
2
K 单位反馈系统 G (s) s(s / 2n 1) “尾一” 开环传递函数 s(s 2n )
R(s)
_
ω 2n s(s+2 ξ ω n)
C(s)
开环增益
K n / 2
一、典型二阶系统的数学模型
微分方程
LC d uc dt
2 2
RC
du dt
c
uc ur
1
(s )
n
2
s 2 n s n
2 2
s 2 s1
j 0
1
j 0
h ( t ) 1 A1e
01
s1t
s1, 2 n 过阻尼 1 n
A 2e2
s2t
h(t ) 1 (1 n t )e
0
n t
s1, 2 n 临界阻尼
0 .4
欠阻尼二阶系统动态性能分析
j
n
(s )
n
2
s 2 n s
2
2 n
β
n
cosβ=ξ
0
0 < ξ<1时：
j n 1
2
s 1 , 2
1 1
2
n
h(t ) 1
e
n t
sin( d t )
s1, 2 n jn 1 jd
2
2 9 4 .8 s 6 .9 3 s 2 2 1 .1
2
例3：3个二阶系统传递函数均为 ( s )
C (s) R (s)

K n
' 2 2
s 2 n s n
2
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统 闭环极点的相对位置，并说明理由。
系统1 系统2 系统3
2 n 2 2
解：
C (s) R( s)


2
2 n 2 n
C ( s) R( s)
s 2n s
( s n ) d
j
n 1
2
c(t ) 1
e
n t 2
1
sin( d t )
d
n
n

0
c(t)=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)
2
(s)
2
7500 s 34 . 5 s 7500
2
n
34 . 5
31 . 6
n 86 . 6
0 . 545
0 .2
0 . 081
t r 0 . 02
0 . 012
t p 0 . 037
0 . 174 t s 0 . 174
13 %
% 52 . 7 %
解： (1)
K 2 (s )
2 s 3s 2
2
n 2 1 . 06 1
t
单位阶跃响应
(2) K 4
c(t) 1 2e
4
e
2 t
n 2 (s) 2 s 3s 4 0 . 75 1
单位阶跃响应
2 .1
（过阻尼）
c(t)
1
1500 200 13.5
0
t
二阶系统的单位斜坡响应
(s )
2 2 n 2 n
s 2 n s
r (t ) t
n
2 2 n 2
R( s)
1 s
2
C ( s ) ( s ) R( s )
( s 2n s ) s
2
n 1 3 0 . 174 ts n
0 . 081
tp
n 1
1
2
2
0 . 12
% e
/
100 % 13 %
闭环传递函数
200 2、 K 1500
n 7500
2
(s)
5K s 34 . 5 s 5 K
% 1 6 .3 %，峰值时间 t p 1 s，
求
K
和 a 的值。
R(s)
K
10 s(s a)
C(s)
例2：设单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试 确定此系统的开环传递函数和闭环传递函数。 解：由图可知 %

54 4
100% 25%
% e
1
2 2
s 2n s n
2
闭环传递函数
(s ) C(s ) R (s ) n
2
闭环特征方程
2
s 2 n s n
2
s 2n s 0
2 2 n
闭环特征根 闭环极点 n — 无阻尼自然振荡频率
— 阻尼比
n
2
s 1, 2 n n 1
2
R (s )

1000 s 34 . 5 s 1000
2
5K s ( s 34 . 5 )
C (s )
1、 K 200
(s)
2 n 1000 2
n
34 . 5
n 31 . 6
0 . 545
根据欠阻尼二阶系统性能指标计算公式
tr

用二阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为2次的系统
闭环传递函数
U c (s) U r (s) 1 LCs RCs 1
2
典型二阶系统传递函数
(s)
n
2 2
s 2n s n
2
例：已知某一阶单位反馈系统的开环传递 函数为 ( s )
5 2s 3
第三节 二阶系统性能分析
一、典型二阶系统的数学模型
微分方程
LC d uc dt
2 2
RC
du dt
c
uc ur
用二阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为2次的系统
闭环传递函数
U c (s) U r (s) 1 LCs RCs 1