一 准备（Preliminaries ）A单摆的数学模型:牛顿第二定律: F = m aa —物体加速度;F —合外力;m —物体质量 虎克定律:(1) f = –k x ; f —弹力;k —弹性系数; x —弹簧伸长 (2) p = Y ux ; Y —杨氏模量; ux —弹性体相对伸长付里叶热传导定律:Q —热量;T —温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k (u |S – u 0)q —热流密度; u 0—外界温度;u|S —物体温度B 几个有用的积分公式2()()()222(cos sin )cos Re()sin Im()cos sin sin sin cos cos bi xx baabi xxb aa bi xxb aa bx xxb b aaa b b b aaabb b aaacx e e x i x dx i e exdx i e exdx i e xe exdx x xxx xdx x xxx xdx e dx αβααβααβααααββαββαββαβααββββββββββ+++-+=+=+=+=-=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞-∞⎰C 函数的Fourier 展开θθsin 22mg dt d mL -=dT Q dxκ=-{}(21)()sin2n n X x x L π+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 是正交函数系二 练习(Exercise)P22 ex 2.1竖直方向合力为零：(1)()cos ()()cos ()(2)cos ()cos ()1T x dx x dx gds T x x x dx x αρααα+++=+≈≈{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x L n x X n πsin )(10(,)()sin()(,)sin 2n n Ln n f x t f t x LL n f t f x t xdxLππ∞===∑⎰由此(3)dTg dxρ=- 对x=0做受力分析(4)(0)T G Lg ρ==解一阶ODE 的初值问题(initial value problem)(3)(4)得(5)()()T x L x g ρ=-水平合力(6))sin ())sin ()ttF maT x dx x dx T x x dxu ααρ=++-=（（(7)sin ()tan ()()sin ()tan ()()x x x dx x dx u x dx x x u x αααα+≈+=+≈=联合(6)(7)(3)(5)(()())()x x tt xx x x ttxx x ttT x u x u Tu T u u L x gu gu u ρρρρρ=+=--=P22 ex2边界条件(Boundary conditions)00|0x x ===端固定，u()(,)()0tt x x L u F t SYu L t F t ερε==--=对端做受力分析0,|0x x L u ε=→=初值条件(initial condition)u (L ,t )Ou (x ,t ) u (x+dx ,t )xLO0()()()()(1)x x t T x dx T x T x const T x SYu u k=+===≡受力分析水平方向注意(2)(0,0)0,(,0)u u L b ==解一阶ODE 的边值问题(boundary value problem)(1)(2)得0|t b u x L==0|0t t u ==P22 ex3(,)()(,)(1)(,)()(,)x x T x t S x Yu x t T x dx t S x dx Yu x dx t =+=++2222()()()()xS x R L x dx S x dx R Lππ=++=由Newton 运动定律222222(2)(,)(,)1()()31()()()3()()()()ttT x dx t T x t dVgu xV x R xLx dx V x dx R x dx LxdV V x dx V x R dx o dx Lρπππ+-==++=+=+-=+ 由(1)(2)得22(3)(())()2x x x ttx x tt xx x ttS x Yu V u x Yu x u xYu Yu xu ρρρ==⇒+=设w xu =，则xx ttYw w ρ=P22 ex4(参考ppt 数理方程2p12,p13)在(,]L L ε- 处受到冲量I ，由动量守恒定理 000/(),()0,lim ()(),()0,()/()/()lim ()lim ()()()LLL LLLLI L x Lx other Ix x L x LIx L other Ix dx I dx I Ix dx x dx IIIx L dx x L dx εεεεεεεεεερεψεψδρδρψρεερρψψρδδρρρ→-→→-<≤⎧=⎨⎩→=-+∞=⎧-=⎨⎩=====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰令0,P26 ex1通过两端截面而留下的热量2((,)(,)(,)(,))()x x kdt u x dx t s x dx t u x t s x t s x s rπ++-==这儿微元段升温所吸热t c sdxu dt ρu (x ,t ) u (x+dx ,t )xLOu (x ,t ) u (x+dx ,t )xLO2,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)0,(,0)(),0tt xx t u a u x L t u t u L t t u x u x x x L εψ⎧=<<<<+∞⎪==<<+∞⎨⎪==<<⎩I εερψ=与侧面交换所留下的热量11()side k u u S dt - 侧面是一圆柱2side S rdx π=与侧面交换所留下的热量1111()()2side k u u S dt k u u rdxdt π-=-由热量守恒有11222211((,)(,)(,)(,))()20,02(),,x x t t xx kdt u x dx t s x dx t u x t s x t c sdxu dt k u u rdxdtdt dx k k u a u b u u a b c c rρπρρ++-=--→→-=--==P26 ex4(参考ppt 数理方程3p6,p7) (1)000|0|x x x L x u x L u u ======端绝热，没有热流流入q=0,i.e 端保持温度,(2) 00||x x x x x x L x q ku q u kx L q ku q u k====-==1122热流流入=-(注意负号表示流入的方向和外法方向相反）,i.e 热流流入=(注意正号表示流入的方向和外法方向相同）,i.e(3)0112120||(|),())|()x x L x L x x L x u u ux L k k u u x k h u t ku hu h t θθ======∂=-=-∂==+=端保持温度,处有热交换这里所以（P36 ex 1(参考ppt 数理方程4 p7-10)(1) 1112212112212221112222,2,30,)a a a a a a a a a a a a aa Hyperbolic ∆=-=-===∆=>判别式这儿故方程的类型为双曲（(2) 111221211221222111222,,0,)a a a a a a a a a a a a aParabolic ∆=-=-===∆=判别式这儿故方程的类型为抛物（(3)111221211221222 11122222,,0,)a aa a aa aa a a a a aaElliptic∆=-=-===∆=-<判别式这儿故方程的类型为椭圆（(4)1112212112212221112221,0,0,0,)0,0,),0,0,))a aa a aa aa a a xx Elliptic x x Hyperbolicx Parabolicmixed type∆=-=-===<>⎧⎪∆=-><⎨⎪==⎩判别式这儿当故方程的类型为椭圆（当故方程的类型为双曲（当故方程的类型为抛物（故方程的类型为混合型（2(1)211122221212()20()10901 or (2)9or9.or99(,)()()()(9) dy dya a adx dxdy dydx dxdy dydx dxy x C y x Ci ey x C y x Cy xy xuu x y f g f y x g y x ξηξηξη-+=-+====+=+-=-==-⎧⎨=-⎩∂=∂∂=+=-+-2特征ODE为即故(1)令原方程变为(3)211122221212()20()83013or (2)222or23.2or23223(,)()()(2)(23) dy dya a adx dxdy dydx dxdy dydx dxy x C y x Ci e y x C y x Cy xy xuu x y f g f y x g y x ξηξηξη-+=-+====+=+-=-==-⎧⎨=-⎩∂=∂∂=+=-+-2特征ODE为即4故(1)令原方程变为P56 ex2(1)(参考ppt数理方程5，p4-10)2000222,(0,0)0,00,)(,)()(),(1)0(2)0Eige 0,0(0)0,()0tt xx x x L t t t tt xx u a u x L t u u u u x L x u x t T t X x T X u a u a T Xconst ODEX X T a T X X x L X X L λλλλλ====⎧=<<>⎪⎪==⎨⎪==-⎪⎩=''''=⇒==-≡''''+=+=''+=<<⎧⎨==⎩（设得到由边界条件得固有值问题（nvalue problem)通解222222210()cos sin (0)0,()00,sin 0(1,2,)()sin 0()cos sin(,)(cos sin )sin00,(,)n n n n n n n n n n n t n X x A B X X L A n n n n X x B xL L n T a T Ln at n atT t C D L Ln at n at n xu x t C D L L L uC u x tD πππλπλλπππππ∞===+==⇒==⇒====''=+==+=+=⇒==∑代入通解由初值条件113330sin sin(,0)()sin()222()sin (cos 1)n n t n n L n n at n xL L n n xu x D L L n n x L D x L x dx n L L L L n ππππππππ∞=∞==⨯=-=--∑∑⎰EX3 (1)0,0(0)0,()0(0)00()000(0)00()000()(0)0,()00,sin 0(1,2,X X x L X X L X Be X A B X L Be A B X Ax BX B X L AL B A B X x A B X X L A n n λλλλλλπ''+=<<⎧⎨==⎩<=+=⇒+==⇒+===<==+=⇒==⇒+====>=+==⇒==⇒==0,则0只有零解0只有零解0通解222)(()sin n n n n n X x B xL Lππλ==固有值）（固有函数）(2)2222222222122,ln 11111111100,0(()()sin()sin(ln )t t t n n n n n n n x e t xdy dy dt dy dx dt dx x dtdy dy d d d y dx x dt dx dx dxdy ddy dt x dt x dxdy ddy dt x dt x x dt dy d y x dt x dt d yy dty y n y x y t B t B x E λλπλλ=========-+=-+=-+⎧+=⎪⎨⎪==⎩====原方程变为固有值）注原方程为uler 型方程P60Ex12000222,(0,0)0,00,)(,)()(),(1)0(2)0Eige 0,0(0)0,()0(t xx x x L t t t t xx u a u x L t u u u u x L x u x t T t X x T X u a u a T Xconst ODEX X T a T X X x L X X L X x λλλλλ====⎧=<<>⎪⎪==⎨⎪==-⎪⎩='''=⇒==-≡''''+=+=''+=<<⎧⎨==⎩（设得到由边界条件得固有值问题（nvalue problem)通解222222222101)cos sin (0)0,()00,sin(1,2,)()sin0()(,)sin(),(,0)sin()2()sin n n n n n n n a tn a tnn t n n n A B X X L A n n n n X x B x L Ln T a T L T t e n x u x t CeLu x L x n xu x C Ln x C x L x L λλπππλπλλπππ-∞-==∞==+==⇒==⇒===='=+====-==-∑∑代入通解由初值条件333022(cos 1)L L dx n L L n ππ⨯=--⎰P70 Ex 2201222201221222200010,00000(1),,(0,0)0,0,P60,EX1(,)sinn axxx x x L axx aLx L aL t xx x x L t a t n n u V WW Ae W W e W A C x C aAW C a e W A C L C aA e A C C a L a V a V x L t V V V T W n x V x t C e Lλπ-==-=-=-===-==+⎧=-⎪⎨==⎪⎩=-++=⇒-+==⇒-++=-==⎧=<<>⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩=重复的步骤22202022222(1)()sin 22(1cos )(1cos )()ax aL L n at e A e A n x C A x T dx L a a L a L T A e np L np np np a L n p π∞----=--+-=--+∑⎰P70 Ex 3(见ppt 数理方程7 p13-15)()20002221cos sin ,0,00,00,00,0(0)0,()0()cos cos sin ()cos ttxx x x x x L t t t n n n n n x u a u A t x L t Lu u u u X X x L X X L n Ln X x A xL x n A t f t xL L πωλπλπππω====∞=⎧=+<<>⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩''+=<<⎧⎨''==⎩===∑固有值问题固有值固有函数121112111110sin ()cos ()cos0()sin ()02(,)()cos(,)()cos()sin (0)0,(0)0()sin sin ()1{cos[(2n n n n n tn A t f t x f t x LLf t A t f t n n xx u x t T t u x t T t LL a T T A t L T T L a T t A t d aL ππωωπππωπωτττπω∞=∞=--===≥=⇒=⎧''+=⎪⎨⎪'==⎩=-+∑∑⎰（），解上述ODE 的初值问题得0)]cos[()]}(sinsin )/[()()]sin sin (,)cos ()()ta a a a t t d L L L L a aa a t t LL L L a at t LA x L L u x t a a a L LL ππππτωττππππωωωωππωωππππωω---+=-+--=+-⎰ P76 ex 2(参考ppt 数理方程8 p6)12012121021221212000(),()()(),,(0,0)0,0(),()P56,EX2(1)xx x x L x sx xsx Lxs t xx x x L t t t u V W W f x WM W M W f y dyds C x C W M C M W M f y dyds C L M f y dyds M C C M LV a V x L t V V V x W V x ϕψ=========+=-⎧⎨==⎩=-++=⇒==⇒-+=-==⎧=<<>⎪⎪==⎨⎪=-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰重复1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xV x t C D L L Lπππ∞==+∑的步骤00002()(())sin ,2()()sin L t n L tt n n xV x W C x W dx L Ln n xV x D x dxL L Lπϕϕππψψ===-⇒=-=⇒=⎰⎰由初值条件P76 ex 22110120001()()(,)()(,)(,)(,)(1)0,0()(,0),()(,)(2)0,00,00(3)0,0()(,0),x x a y y bx a x y y b x ax y y y y W x y y xa u x t V x t W x t V f WVVVx W x Vx W x b V V VV f W V V V V V VVV x W x Vϕϕϕψψψ============-=+=+⎧∆=-∆⎪⎪==⎨⎪=-=-⎪⎩=+⎧∆=-∆⎪⎪==⎨⎪⎪==⎩∆====-2222()(,)(,)()()0000(0)0,()0,sin()bn n n x W x b ppt V x y X x Y y X Y X Y X Y X Y X X Y Y X X X X a n n X B x a aψλλλλππλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪=-⎩=''''''''+=⇒-==''+=''-=''+=⎧⎨==⎩⇒==解方程（3）以下步骤参考数理方程6page 17-18设得到ode11102200(,)()sin(),2()(,0)(()(,0))sin()2()(,)(()(,))sin()n n y y a an n n n n y y aan n n ay n n an n b b aay bn n Y Y Y C eD en V x y C eD ex an V x W x C D x W x x dxa a n Vx W x b C eD ex W x b x dx a app ππππππλππψψπψψ-∞-==-=''-==+=+=-⇒+=-=-⇒+=-∑⎰⎰解方程（2）以下步骤参考02221012()(),sin()()()sin(()()()())()sin()()()0,0n n n n n n n n n n n n n n n n n n y x bt V Y y X x n n X x a af W X x n f f W f y x LV f W n Y y X x Y y X x f y x Ln Y y Y y f y LVVππλπππ∞=∞=∞∞=======-∆=-∆=∆=-∆⇒''''+=''-===∑∑∑∑数理方程7page 8-13将展开为的级数（）由边界条件得20()()()0,0nn n n n y b y ODE n Y y Y y f y L Y Y π==⎧''-=⎪⎨⎪==⎩到非齐次的边值问题（）P90 ex1(1) 直接用D ’lambert 公式23322311(,)[()()]()2211(sin()sin())221sin cos [()()]6sin cos 3x atx at x at x atu x t x at x at d ax at x at d a x at x at x at aa x at x t tϕϕψξξξξ+-+-=++-+=++-+=++--=++⎰⎰(2) 直接用D ’lambert 公式2211(,)[()()]()2211(55)2215[()()]45x atx at x at x at u x t x at x at d a d ax at x at a xtϕϕψξξξξ+-+-=++-+=++=++--=+⎰⎰ P92 EX1参考ppt 数理方程10 pg 5D'lambert 11(,)[()()]()2211(,)[()()]()2211[sin()sin()]cos 221sin cos (sin()sin())2sin cos x atx at x atx at x at x atu x t x at x at d ax t a u x t x at x at d a x at x at d a x at x at x at ax ξξϕϕψξξξξ+-+-+-=Φ++Φ-+ψ≤=++-+=++-+=-+--=⎰⎰⎰半无界弦振动的公式当时sin cos 11(,)[()()]()2211[sin()sin()](sin()sin())22sin cos sin cos x atat x at xat ax t a u x t x at at x d ax at x at x at x at ax atx at aϕϕψξξ+-+>=+--+=++--++-=+⎰当时P108 EX1(())()()()()()j x jxyF g x f f g x e dy f x g y edyωωω+∞--∞+∞--∞===⎰⎰()()[()]()()()()()j x jxy j x jx y jx y F f x f x e dx g y e dye dxg y edydxg y e dx dyωωωω+∞--∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()()[1]121()22()2()[()]()()2()()2()()2i x i x jx y jx y jx y x F e d x e d y e dxDirac y e dxF f x g y e dx dyg y y dyg y y dy ωξωωωωδωπδξωππδωδπδωπδωπδω-∞-∞∞--∞+∞-+-∞+∞-+-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-∞+∞-∞==-=--=+===+=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意所以注意函数是偶函数（）11()()[()][2()]g f x F F f x F g πωπω---==-另实际上只需证明1[2()]()()()()j x j x jyx F g g e d g e d g y e d f x ωωμμπωωωμμμ+∞--∞+∞-=--∞+∞--∞-=-===⎰⎰⎰Ex 3(1) 参见ppt 数理方程11 pg 6 例1||||0(1)(1)00(1)(1)02[]112111x x i x i xi x i xi xF ee e dxe dx e dxedx edx i i ωωωωωωωω∞----∞+∞-+--∞+∞-+--∞==+=+=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰（2）参见ppt 数理方程 12 pg 42222222()222222()424[()]()()()2224[()]i x x xi xi x cx F f x eedx edxi i i i x x x x F f x e edxeePoisson edx ωππωπωωπππωπωωωωωπππππ∞+∞-+---∞-∞+∞--+-∞-+∞--∞==+=+-=++====⎰⎰⎰⎰利用定义对二次多项式配方所以注意这里利用了积分(3)2222222()222222()424[()]Re()Re ()()()2224[()]Re(Re(Re(Re()4ia x x iax i xaiia x aaiF f x eedx edxx x x x aaaaa F f x e edxe eeωωωωπωωωωωπω∞+∞---∞-∞+∞---∞---==-=--=--=====-⎰⎰⎰利用定义对二次多项式配方所以22)4cx a Poisson edx +∞--∞=⎰注意这里利用了积分P155 ex 1(1) 参见ppt 数理方程 14例 4（pg 15） 上半圆内任一点(,)M x y上半圆内定点: 000(,)M x y 的下半平面镜象点: 000(,)M x y '=-M 0的圆外镜象点: 11100(,)(,)M x y k x y ==其中22200R k x y =+，R 是圆的半径 M 1的下半平面镜象点: 111(,)M x y '=-0011000111(,)[ln ln ln ln ]2MM MM MM MM R R G M M r r r r r r π''=--+'10000010,,,MM MM r OM r OM r MM r MM ''====(2) 上半球内任一点(,,)M x y z上半球内定点: 0000(,,)M x y z 的下半平面镜象点: 0000(,,)M x y z '=-0M 的圆外镜象点: 1111000(,,)(,,)M x y z k x y z ==其中2222000R k x y z =++，R 是球的半径1M 的下半平面镜象点: 1111(,,)M x y z '=-0011000111(,)[]4MM MM MM MM R R G M M r r r r r r π''=--+' 10000010,,,MM MM r OM r OM r MM r MM ''====Ex 2(1)首先证明000000(),() ()()()()( Green ()LL D DC u M C MD u M G M M M dsnG C dsnC G M M dx C M M dx Cϕθϕδ=≡∀∈∂-=∂∂=∂=-∆-=-=⎰⎰⎰⎰如果则由第三Green 公式由公式）0220200022020022020001()1)()1212cos()1)1212cos 1)11212cos D u M r d r r r Cd r r r d r r πππϕθθπθθθπθθπθ-=--+-=-+-=-+⎰⎰⎰注意如果是以为圆心，以为半径的圆盘则由Poisson 公式（（（因此022020000220002000002222000022000000()cos ()1)()1212cos()1)cos 1212cos()1)cos 1)sin 11cos sin 212cos 212cos 12a u M r d r r r a d r r r r a d a d r r r r ππππϕθθϕθθπθθθθθθπθθθθθθθθθθθπθπθπ=-=--+--+=--+---=--+-+⎰⎰⎰⎰(1)如果则（（（）用代替（（（220200022020002220020000222200020000022000001)cos 12cos 1)cos 212cos 1)1(1)2212cos 1)11)122212cos 1)122r d r r r d r r r r d r r r r r r d r r r r r r r r r ππππθθθθθπθθπθθπθ--+-=-+-+=---+-+-=-+-+-+=-+=⎰⎰⎰⎰（（（（（2202000220200001)sin 1212cos 1)1ln()2212cos 0r d r r r d r r r ππθθθπθθπθ--+-=--+=⎰⎰（（ 0000000()cos . (,)= cos (,)= cos (2)()cos (,)= +cos u M ar i e u r ar u r ar b a u r b ar θθθθθϕθθθθ==+同理如果 事实上22022202200112cos 1112cos 12cos 1112cos 12cos d d d d d ππππππθρθρθθρθρρθρθθρθρρθρ-+=+-+-+=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰tan 22222002222222222000022111122111112()12()111122(1)(1)(1)(1)11112tan()2tan()(1)(1)1(1)(1)12111212t dt dt t t t t t t dt dt t t a t a t θρρρρρρρρρρρρρρρρπρρπρ=+∞+∞+∞+∞+∞+∞=+--++-+++++=+-++++--+=++-++--=---⎰⎰⎰⎰由（万能公式）2201cos d πθθρ=+⎰ P182 ex 1参见ppt 数理方程14 pg 18分离变量,令()()u P Z z ρ=10zz u u u ρρρρ++=（1）()0P P Z PZ ρρ'''''++= (2)P P Z P Zρμρ'''''+=-= 由边界条件得到固有值问题 (3)0(0)()0Z Z Z Z h μ''+=⎧⎨==⎩0P P P ρμρ'''+-=由(3)其固有值222n n hπμ= 所以Bessel 方程222()0n P P P hπρρρ'''+-= 2 证明参见ppt 14 pg 17 220(1)()2!(1)m n mn n m m x J x m n m -+∞--+=-=Γ-++∑(1/2)21/2(1/2)2012(1)()2!(11/2)m m m m n xJ x m m -+∞--+==-=Γ+-∑(11/2)(1/2)(1/2)(1/2)(3/2)(1/2)(1/2)m m m m m Γ+-=-Γ-=--Γ=(1/2)2(1/2)2(1/2)2(1/2)2(1/2)21/2(1)2!(11/2)(1)(21)!!22m mm m mm m mx m m x m m -+-+-+-+-+-Γ+--=-=所以(1/2)21/21/20()2m m m J x -+∞-==∑ 注意20(1)cos (2)!m mm x x m ∞=-=∑(1/2)21/21/2011/2220()2(1)(2)!m m m m m m J x x x m x -+∞-=∞-==-==∑∑ Ex3 220221212210221021(1)()2!(1)(1)()2!(1)22110(0)0m n mn n m m m n m n n m m n m x n x J x m n m x J x m n m n m x J +∞+=+-∞-+-=+-=--=Γ++-=Γ+++-≥==∑∑， 第二章两道题目，25分第三章一道题目，15分，第四五章两道题目，30分第六章两道题目，15分第七章两道题目，15分。