命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解1.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -中， 1111AC B C =， 111A A A B =， 1160AA B ∠=︒．（1）求证： 1AB B C ⊥；（2）若1112A B B C ==， 112B C =，求二面角11C AB B --的余弦值． 【答案】(1)见解析；（2）217. 【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值.（2）∵1ABB ∆为等边三角形， 2AB =，∴13OB =，∵在ABC ∆中， 2AB =， 2BC AC ==， O 为AB 中点，∴1OC =，∵12B C =， 13OB =，∴22211OB OC B C +=，∴1OB OC ⊥， 又1OB AB ⊥， ∴1OB ⊥平面ABC ．以O 为原点， OB ， OC ， 1OB 方向为x ， y ， z 轴的正向，建立如图所示的坐标系，()1,0,0A -， ()10,0,3B ， ()1,0,0B ， ()0,1,0C ，则()1111,1,3OC OC CC OC BB =+=+=-，则()11,1,3C -， ()11,0,3AB =，()10,1,3AC =，则平面1BAB 的一个法向量()0,1,0m =， 设(),,n x y z =为平面11AB C 的法向量，则1130,{30,n AB x z n AC y z ⋅=+=⋅=+=令1z =-，∴3x y ==，∴()3,3,1n =-，∴21cos ,7m n m n m n⋅==⋅．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.2.如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ==⋂=，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， G 为PAD ∆的重心.（1）求证： //GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值. 【答案】（1）见解析（2）811【解析】试题分析：（1）要证线面平行，则需在平面中找一线与之平行即可，所以连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心， 21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC 从而的证明（2）求解二面角时则通过建立坐标系求两面的法向量，再利用向量的数量积公式求解即可 试题解析：解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心， 21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()223,3,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,0,0,0,1AB DC AP B D G ==∴-，()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP∴=-=-=-，设()()()00000011,,,,3,,3,3,022C x y z DC AB x y z=∴+=-，可得000333333533,,0,,,0,,,0222222x y z C AC⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB的一个法向量为()1111,,n x y z=，由11111111113303{{{3303n AB x y x yn AP x z x z⊥-+==⇒⇒⊥-+==，令11z=，得()13,1,1n=，同理可得平面AGC的一个法向量()1121212353113,5,3,cos,537185n nn n nn n⋅++=〈〉===⨯，所以平面AGC与平面PAB所成锐二面角的正切值为811.点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，再通过向量夹角公式计算即可3.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，平面11A ACC⊥平面ABC，2AB BC==，30ACB∠=，1120C CB∠=，11BC AC⊥，E为AC的中点．（1）求证：1A C⊥平面1C EB；（2）求二面角1A AB C--的余弦值．【答案】（1）见解析;（2）13．【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角可采用建立空间直角坐标系，借助法向量求解，本题需要设11,AA x A ACθ=∠=，根据条件求出x，再利用法向量求出二面角的余弦.试题解析：（1）证明：∵BA BC=，E为AC的中点，∴BE AC⊥，又平面11A ACC⊥平面ABC，平面11A ACC⋂平面ABC AC=，BE⊂平面ABC，∴BE⊥平面11A ACC，又1AC⊂平面11A ACC，∴1BE A C⊥．又11BC AC⊥，1BE BC B⋂=，∴1A C⊥面1C EB．则由余弦定理得22213122234123AC x x x x=+-⋅⋅=-+．22213323233C E x x x x⎛⎫=+-⋅⋅⋅-=++⎪⎪⎝⎭，设1A C与1C E交于点H，则1123A H AC=，1123C H C E=，而1A C⊥1C E，则2221111A H C H A C+=．于是()()()22244412232399x x x x-++++=，即260x x--=，∴3x=或2-（舍）容易求得：16A E=，而22211A E AE AA+=．故1A E AC⊥，由面11A ACC⊥面ABC，则1A E⊥面ABC，过E作EF AB⊥于F，连1A F，则1A FE∠为二面角1A AB C--的平面角，由平面几何知识易得32EF=，1332A F=．∴11312cos3332AEA FEA F∠===．方法二：以A点为原点，AC为y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA x=，1A ACθ∠=，则()1,3,0B，()0,23,0C，()0,3,0E，()10,23cos,sinC x xθθ+．∴()1,3,0CB=-，()10,cos,sinCC x xθθ=．由1111cos,2CB CCCB CCCB CC⋅==-，得3cos122xxθ-⋅=-，∴3cos3θ=，则1360,,33A x x⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1360,23,33C x x⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，于是1360,23,33AC x x⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，1361,3,33BC x⎛⎫=-+⎪⎪⎝⎭，∵11AC BC⊥，不妨设平面ABC的法向量()20,0,1n=，则121212212cos,3912n nn nn n-⋅===-⨯，故二面角1A AB C--的余弦值为13．【点睛】证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角的方法有两种，传统方法为“作、证、求”，用空间向量，借助法向量更容易一些.4.如图，在梯形ABCD 中， ABCD ， 23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， 1AD CD BC CF ====.（1）求证： EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF （含端点）上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）77【解析】试题分析： （1）由23BCD π∠=AD CD BC ==可得BC AC ⊥.由CF ABCD ⊥平面可得AC CF ⊥.从而EF ⊥平面.BCF（2）分别以直线CA ， CB ， CF 为x 轴， y 轴， z 轴的如图所示建立空间直角坐标系，令FM λ= (03λ≤≤). 平面MAB 的一个法向量1n =(1, 3, 3λ-), 2n =(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量()()122122n ?n 11cos .n ?n 133134θλλ===++-⨯-+｜｜｜｜｜｜∵03λ≤≤,∴当0λ=时， cos θ有最小值77. 试题解析： (I)在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =，∴22202cos60 3.AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= ∴222.AB AC BC =+∴BC AC ⊥.∵CF ABCD ⊥平面， AC ABCD ⊂平面， ∴AC CF ⊥，而CF BC C ⋂=， ∴.AC BCF ⊥平面∵//,EF AC∴EF BCF⊥平面.(II)由(I)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF====，令FMλ= (03λ≤≤),则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，∴AB=(-3，1，0)，BM=( λ，-1，1)，设()1,,n x y z=为平面MAB的一个法向量，由11·0{·0,n ABn BM==，得30{0,x yx y zλ-+=-+=，取1x=,则1n=(1, 3, 3λ-),∵2n=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴()()122122n?n11cos.n?n133134θλλ===++-⨯-+｜｜｜｜｜｜∵03λ≤≤,∴当0λ=时，cosθ有最小值77，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为77.5.如图，在四棱锥E ABCD-中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知2,AE DE F==为线段DF的中点.（I ）求证： BE 平面ACF ；（II ）求平面BCF 与平面BEF 所成锐二面角的余弦角. 【答案】（1）见解析；（2）55151.(II)因为AE ⊥平面,CDE CD ⊂平面CDE ， 所以AE CD ⊥.因为ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥. 因为,,AE AD A AD AE ⋂=⊂平面DAE ，所以CD ⊥平面DAE .因为DE ⊂平面DAE ，所以DE CD ⊥.所以以D 为原点，以DE 所在直线为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,1,0,0,2,0,2,0,0,0E F A D . 因为AE ⊥平面,CDE DE ⊂平面CDE ,所以AE CD ⊥.因为2AE DE ==，所以22AD =. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以22CD =， 所以()0,22,0C . 由四边形ABCD 为正方形， 得()2,22,2DB DA DC =+=, 所以()2,32,2B .设平面BEF 的一个法向量为()1111,,n x y z =，又知()()0,22,2,1,0,0BE FE =--=， 由1111102220,{{0,0n BE y z x n FE ⋅=--=⇒=⋅= 令11y =，得110,2x z ==-， 所以()10,1,2n =-.设平面BCF 的一个法向量为()22212,,n x y z =，又知()()2,0,2,1,22,0BC CF =---,由222222220,0{{220,0x z n BC x y n CF --=⋅=⇒-=⋅= 令21y =，得2222,22x z ==-， 所以()222,1,22n =-.设平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角为θ， 又12121214551cos ,51317n n n n n n ⋅+〈〉===⨯， 则551cos 51θ=. 所以平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值为55151. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.6.如图，在三棱台111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11122AB A B CC ==，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1C MN ；（2）若AB BC ⊥且AB BC =，求二面角1C MC N --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）60. 【解析】试题分析：（1）利用中位线，有11//,//AB MN BB C C ，所以平面1//ABB 平面1MNC ，所以1//AB 平面1C MN ；（2）易得MA ，MB ，1MA 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，分别计算平面11,CMC NMC 的法向量，利用法向量夹角来计算二面角1C MC N --的余弦值为12，所以二面角为60. 试题解析：（2）解：由1CC ⊥平面ABC ，可得1A M ⊥平面ABC ， 而AB BC ⊥，AB BC =，则MB AC ⊥， 所以MA ，MB ，1MA 两两垂直，故以点M 为坐标原点，MA ，MB ，1MA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则1111A B CC ==，22AC =，2AM =，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，1(2,0,1)C -，22(,,0)22N -， 则平面11ACC A 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面1C MN 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2210,0,n MN n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220,2220,x y x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩取21x =，则21y =，22z =，2(1,1,2)n =，1211cos ,2112n n <>==++，易得二面角1C MC N --为锐角，所以二面角1C MC N --的大小为60︒．考点：空间向量与立体几何.7. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，，四棱锥的体积为2，点在平面内的正投影为，且在上点是线段上，且．（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）通过构造辅助线FH，证明为平行四边形，即借助线线平行证明线面平行；（2）借助底面四边形的对角线互相垂直，建立空间直角坐标，利用向量方法求解二面角.（Ⅰ）解析：因为四棱锥的体积为2，即，所以又，所以即点是靠近点的四等分点，过点作交于点，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线平面.（Ⅱ）设的交点为，所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设平面的法向量为，，则，，则，即为所求.点睛：本题主要考查直线与平面平行的判定定理、二面角、空间向量的应用，以三棱柱为载体，考查借助空间想象能力、逻辑推证、转化能力、运算能力．线面平行的判定方法一是线面平行的判定定理，二是证面面平行，其解题的关键是在面内找到一线与面外一线平行，或由线面平行导出面面平行，性质的运用一般要利用辅助平面；求二面角通常通过建立空间直角坐标系利用空间夹角公式求解．△，△分别沿DE，8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将AED DCFDF折起，使A C，两点重合于P.（Ⅰ）求证：平面PBD BFDE ⊥平面； （Ⅱ）求二面角P DE F --的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）23【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接EF 交BD 于O ，则根据等腰三角形性质得EF OD ⊥，EF OP ⊥（Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：（Ⅰ）证明：连接EF 交BD 于O ，连接OP .在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点， 所以 BE BF DE DF ==，， 所以DEB DFB △≌△，所以在等腰DEF △中，O 是EF 的中点，且EF OD ⊥， 因此在等腰PEF △中，EF OP ⊥， 从而EF OPD ⊥平面， 又EF BFDE ⊂平面， 所以平面BFDE OPD ⊥平面，即平面PBD BFDE⊥平面.…………………6分所以AF DE ⊥，于是，在翻折后的几何体中，PGF ∠为二面角P DE F --的平面角， 在正方形ABCD 中，解得255AG =，355GF =，所以，在PGF △中，255PG AG ==，355GF =，1PF =， 由余弦定理得2222cos 23PG GF PF PGF PG GF +-∠==⋅， 所以，二面角P DE F --的余弦值为23.………………………………12分设() x y z =m ，，为平面EFD 的一个法向量， 由EF ED ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m 得020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得11 1 2⎛⎫= ⎪⎝⎭m ，，， 又由题知()1 0 0=n ，，是平面PED 的一个法向量， 所以2cos 3⋅<>==⋅m n m n m n，. 所以，二面角P DE F --的余弦值为23.………………………………12分考点：空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.9.如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面ABCD ， AD BC ，22PA AB AD BC ====， BAD θ∠=， E 是棱PD 的中点.（Ⅰ）若60θ=︒，求证： AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P CD A --的平面角最小. 【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）3πθ=.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用题意证得CD AE ⊥， PD AE ⊥.∴AE ⊥平面PCD . (Ⅱ)建立空间直角坐标系，由题意可得2cos 2cos 122sin αθθ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭要使α最小，则cos α最大，得3πθ=.试题解析： 当60θ=︒时，∵AD BC ， 22AB AD BC ===. ∴CD AD ⊥.又PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥. ∴CD ⊥平面PAD . 又AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥.又PA AD =， E 是棱PD 的中点， ∴PD AE ⊥.∴AE ⊥平面PCD .又易知平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =. 设二面角P CD A --的平面角为α， 则2cos 2cos 122sin m n m nαθθ⋅==⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭要使α最小，则cos α最大，即2cos 102sin θθ-=，∴1cos 2θ=，得3πθ=10.如图，在四棱锥A BCFE -中，四边形EFCB 为梯形， //EF BC ，且34EF BC =， ABC ∆是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且3FG =， 212CF =， 52BF =.（1）证明：平面FGB ⊥平面ABC ； （2）求二面角E AB F --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）78585【解析】试题分析：（1） 取AC 的中点为O ，连接,OB GB 利用直角三角形的性质，可分别求出,CG BG 的值，由勾股定理得FG BG ⊥．可得FG ⊥面ABC ，可证平面FGB ⊥平面ABC ；（2）以OB 所在直线为x 轴， OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系，可求二面角的余弦值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， OB FG ⊥， OB AC ⊥，且AC FG G ⋂=所以 OB ⊥面AFC ，且FG ⊥面ABC ．以OB 所在直线为x 轴， OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：()()10,1,0,3,0,0,0,,32A BF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 33,,32E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()3,1,0BA =--，351,,3,3,,3442BE BF ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面ABE ， ABF 的法向量分别为,m n ，则0{0m BA m BM ⋅=⋅=，则(1,3,m =- 0{0n BA n BF ⋅=⋅=，则 1,3,n ⎛=- ⎝78585m n m n ⋅= 所以二面角E AB F --的余弦值为点睛：若12,n n 分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12,n n 〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n 的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．。