b a
(2) 示功图(Fcosθ随s的变化曲线) Fcosθ 的变化曲线) 随 的变化曲线
b dA
a
O
s
Fcosθ s曲线下的面积表示力 所作的功的大小 曲线下的面积表示力F所作的功的大小 曲线下的面积表示力
练习: 练习: 如图 M=2kg , k =200Nm , S=0.2m , g≈ 10ms
l 10
mgl 50
Ep2 = 0
A′ = Ep = (Ep2 Ep1 ) =
mgl 50
mgl 50
′ A = A =
三,动能定理和功能原理 1. 1)动能 非相对论) 动能 非相对论) ( 质点: 质点:
Ek = mv
1 2
2
2
动能是状态量, 动能是状态量, 任一运动状态对 应一定的动能.
第六章 能量
能量守恒定律
自学
总结 讨论
第六章
作业
自 学 要 求 基本内容: 基本内容:
1.质点,质点系,定轴刚体的动能; 1.质点,质点系,定轴刚体的动能; 质点 2.功的计算,熟练计算变力的功,理解保守力做功的特征; 2.功的计算,熟练计算变力的功,理解保守力做功的特征; 功的计算 3.保守力与其相关势能的关系,由势能曲线分析物体运动特征; 3.保守力与其相关势能的关系,由势能曲线分析物体运动特征; 保守力与其相关势能的关系 4.熟练使用动能定理或功能原理解题, 4.熟练使用动能定理或功能原理解题,注意内力的功可以改变质 熟练使用动能定理或功能原理解题 点系的总动能; 点系的总动能; 5.熟练使用机械能守恒定律解题,对综合性问题要能划分阶段, 5.熟练使用机械能守恒定律解题,对综合性问题要能划分阶段, 熟练使用机械能守恒定律解题 分别选用恰当的力学定理或守恒定律求解. 分别选用恰当的力学定理或守恒定律求解.
= gradEp = Ep
练习: 练习: 置于光滑桌面上,下垂部分长 均匀链 m , 长 l 置于光滑桌面上 下垂部分长 0.2 l ,施力将其缓慢拉回桌面 施力将其缓慢拉回桌面. 施力将其缓慢拉回桌面 用两种方法求出此过程中外力所做的功. 用两种方法求出此过程中外力所做的功
=0
0.2 l 0.8 l
AN + AQ + AF = E
1 2 2 2
AF = mga sin θ + ka θ
四,机械能守恒 1. 当各微元过程都满足 dA外 + dA非保内 = 0 时,
dE = 0
,
E = 恒量 ,系统机械能守恒 系统机械能守恒.
由保守力的 功求势能
保守力为其相关势能梯度的负值: ③ 保守力为其相关势能梯度的负值
F
dA = F dl = Fl dl = dE p
l
m
θ
Fl =
dl
Fl
( )
dE p dl
保守力在 l 方向投影
E p 在 l 方向 空间变化率
由势能求 保守力
F保 =
(
Ep x
i+
Ep y
j+
Ep z
k
)
kx
2
| 0 . 1 + Mgx | 0 .. 2 0 0 1
k
M
S F
功
变力的功 保守力的功
1,几个概念 2,动能定理 3,功能原理
动 能 (质点,质点系,定轴刚体) 势 能 (保守力与相关势能的关系)
A 外 + A内 = E K
比较
A + A 保内 = E 外 非
d A外 + d A非保内 = 0
N
a
mg Q
θ
T
AG = mga sin θ AN = 0 功 AT = 1 k (aθ)2 2
AN = 0 AQ = 0 AF = ?
E k1 = 0 E k2 = 0 E p1 = 0
E k1 = 0 m
E k2= 0 动能
Ep 2 = mga sin θ + 1 ka 2θ 2 2
能
AN + AG + AT + AF = Ek
1. 保守力 做功与路径无关,只与起点,终点位置有关 做功与路径无关,只与起点, 做功与路径无关
A=
a
∫ F dr
b
=
a
∫ F dr
L1
b
b m
(路径L1) 路径
(路径L2) 路径
F
a L2
对沿闭合路径运动一周的物体做功为零 对沿闭合路径运动一周的物体做功为零
∫
L
F dr = 0
重力,弹力,万 有引力,静电力
质点系: 质点系: E k =
∑
i
1 2
m i vi = E kc + E k ≠ mv c
1 2
′
2
定轴刚体: Ek = 定轴刚体:
∑
i
1 2
mi vi = Jω
2 1 2
2 2 2
2
2)动能与动量,角动量的关系 )动能与动量, 质点
1 2 mv p 1 Ek = mv = = = pv 2 2m 2m 2
C
F
=0
半径 a , 角 θ, 表面光滑,力沿切向方向 表面光滑 力沿切向方向 , m 缓慢运动, B 缓慢运动 求: 力 F做的功 C
a θ o
B
k 原长
A
可分别利用动能定理,功能原理求解 可分别利用动能定理,功能原理求解 动能定理
动能定理 研究对象 受 力 分 析
F
功能原理 m
m
N
m
Ep=0
F
四种基本相互作用力均是保守力 均是保守力) 否则为非保守力 (四种基本相互作用力均是保守力)
2. 势能: 势能: 在具有保守力相互作用的系统内, 在具有保守力相互作用的系统内,只由质点间的 相对位置决定的能量称为势能. 相对位置决定的能量称为势能.
保守力 重 力 弹 力 势能零点 h=0 势能( 势能(E p )
-1 -2
不计轮,绳质量和摩擦 弹簧最初为自然长度 弹簧最初为自然长度, 不计轮,绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度, 缓慢下拉,则 缓慢下拉 则 AF=? 将绳端下拉0. 解: 用 F 将绳端下拉 2 m , 物体 M将上升多高 将上升多高? 将上升多高
∵ kx0 = Mg → x0 = 0.1m S = 0.2m
ds
θ
bபைடு நூலகம்
dr
r
a
r′
O
F
直角坐标系: 直角坐标系:
F = Fx i + Fy j + Fz k
dr = dxi + dyj + dzk
dA = F dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
总功: 总功: A = dA = F cosθds = F dr
∫
a
b
∫
a
b
∫
a
b
=
∫ (Fx dx + F y dy + Fz dz )
(二) 质点系的动能定理 二
A = ∑ ∫ Fi d ri + ∑ ∫ f i d ri = ∑ EKi
i =1 i =1 i =1
N
N
N
A 外 + A内 = E K
A内 = ∑ ∫ f i d ri ≠ 0
i =1
N
质点系动能定理: 质点系动能定理:质点 系所有外力, 系所有外力,内力做功 的代数和等于质点系总 动能的增量. 动能的增量.
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具(200多年前,世界上第一座过山车 出现在俄罗斯的雪域高原上),它会载着你时而迅猛俯冲,时而盘旋上升,时 而惊险反转,时而急速骤降,那种风驰电掣,有惊无险的快感令不少人着迷. 当你在游乐场乘过山车正以时速近一百公里奔驰之际,你会否想起:为 什么过山车被推上最高点后,就再也不需要引擎来推动?在转弯时,为甚么 我们倒转了却不会掉下来?
3. 功能原理
A外 + A保内 + A 保内 = EK 非
Ep A外 + A 保内 = (EK + Ep ) = E 非
★ 质点系外力和非保守内力做功代数和等于质 点系总机械能的增量 ★ 实际上,功能原理就是质点系动能定理的又 一种表达方式.
练习4: 练习 :
P139( 6.8) 已知: 已知:物体 m 轻弹簧 k ,
AN + AN ′ = 0
与参考系选择无关
注 意!!
∑F
i
i内
≡0
∑I
i
i内
≡0
∑M
i
i内
≡0
∑A
i
i内
≡0
★质点系的内力的矢量和必然为零 ★质点系的内力的冲量的矢量和恒为零 ★质点系的内力的力矩的矢量和恒为零 ★ 质点系内力做功的代数和不一定为零
功率 : 力在单位时间内所作的功
平均功率
A P = t A dA P = lim = t → 0 t dt
=0
解一: 解一
0.2 l 0.8 l
用变力做功计算
x
光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力平衡 光滑平面,缓慢拉回,则拉力与链下垂部分重力平衡, 缓慢拉回 则拉力与链下垂部分重力平衡, m x 以向下为正: 设下垂部分长为 x ,质量 质量 ,以向下为正: l
mx G= l g
A = ∫ Fdx = G
一. 功
力对空间累积
F
θ
F
中学: 中学:恒力作功
A = Fs cos θ
1.功的性质: 1.功的性质: 功的性质
A>0 ①功是标量(代数量) 功是标量(代数量) A<0 A=0